大学理工类常用求导公式

57辅导七求导数法则一、学习要求掌握基本初等函数的求导公式;掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则;了解反函数的求导法则;掌握隐函数的求导方法.二、内容提要1.导数的四则运算法则设u=u(x),v=v(x)都可导,则(1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);(3)[cu(x)]′=cu′(x)(c为常数);(4)2()()()()()[]()()uxuxvxuxvxvxvx′′−′=(v(x)≠0).注:乘积的求导法则是:前一项的导数乘以后一项,加上后一项的导数乘以前一项.商的求导法则是:分子的导数乘以分母,减去分母的导数乘以分子,除以分母的平方.2.运算法则的推广(u1+u2+⋅⋅⋅+un)′=u1′+u2′+⋅⋅⋅+un′.(u1u2⋅⋅⋅un)′=u1′u2⋅⋅⋅un+u1u2′⋅⋅⋅un+⋅⋅⋅+u1u2⋅⋅⋅un′.3.复合函数的求导法则设y=f(u),u=ϕ(x),则复合函数y=f[ϕ(x)]的导数为ddddddyyuxux=⋅,或写成d()()dyfuxxϕ′′=⋅.注:这个求导法则一定要掌握,大多数情况下都要用这个公式求导数.4.反函数的求导法则设函数y=f(x)的反函数为x=f−1(y),则d1dddyxxy=,即11()[()]fxfy−′=′.5.隐函数的求导法则由方程P(x,y)=0可以一个函数y=f(x),这个函数称为由P(x,y)=0确定的隐函数.在等式P(x,y)=0的两边逐项对自变量x求导数,即可得到一个包含y′的一次方程,解出y′,即为隐函数y=f(x)的导数.6.取对数求导法将函数y=f(x)两边取对数,得lny=lnf(x),然后在等式lny=lnf(x)的两边逐项对自变量x求导数,即可得到一个包含y′的一次方程,解出y′,即为函数y=f(x)的导数.这种求导方法称之为“取对数求导法”.注:取对数求导法可以用公式表为:y′=f(x)[lnf(x)]′.取对数求导法常用于求幂指函数y=u(x)v(x)的导数,或乘积因子较多的函数的导数.587.基本初等函数的导数公式(1)(C)′=0,(2)(xa)′=αxα−1,(3)(ax)′=axlna(a0,a≠1),(4)(ex)′=ex,(5)1(log)lnaxxa′=(a0,a≠1),(6)1(ln)xx′=,(7)(sinx)′=cosx,(8)(cosx)′=−sinx,(9)221(tan)seccosxxx′==,(10)221(cot)cscsinxxx′=−=−,(11)(secx)′=secxtanx,(12)(cscx)′=−cscxcotx,(13)21(arcsin)1xx′=−,(14)21(arccos)1xx′=−−,(15)21(arctan)1xx′=+,(16)21(arccot)1xx′=−+.三、主要题型题型7−1含幂函数与指数函数的导数幂函数的求导公式是(xα)′=αxα−1,而指数函数的求导公式是(ex)′=ex和(ax)′=axlna,不要把指数函数的求导公式与幂函数的求导公式相互混淆.函数1nx和nmx都是幂函数,求导数时应先将函数写成xα的形式,然后按幂函数求导公式求导数:111()()nnnnnxnxxx−−−+′′==−=−,1()()mmnnmmnnnmmxxxxnn−−′′===.例1.求函数52322+−=xxy的导数.解:)523()523(2222′+−=′+−=′−xxxxy将幂函数写成标准形式=(3x2)′−(2x−2)′+(5)′每项分别求导=3(x2)′−2(x−2)′+(5)′常数提出.=3⋅2x−2⋅(−2)x−3+0按幂函数求导公式求导346xx+=.例2.求函数1(1)(1)yxx=+−的导数.解:112211(1)(1)11yxxxxxx−=+−=−+−=−,先把函数展成和差的形式591111221122yxx−−−′=−−每项分别求导111()2xxx=−+.例3.求函数y=3excosx的导数.解:y′=(3excosx)′=3(excosx)′常数提出=(ex)′cosx+ex(cosx)′按乘积的求导法则=excosx+ex(−sinx)(ex)′=ex,(cosx)′=−sinx=ex(cosx−sinx).例4.求函数y=ax+xa(a0)的导数.解:y′=(ax+xa)′=(ax)′+(xa)′按和差的求导法则=axlna+axa−1.ax是指数函数,(ax)′=axlnaxa是幂函数,(xa)′=axa−1例5.求函数2eln3xyx=+的导数.解:222eee(ln3)()(ln3)()xxxyxxx′′′′′=+=+=按和差的求导法则常数ln3的导数为02222(e)e()()xxxxx′′−=24ee2xxxxx−⋅=按商的求导法则3e(2)xxx−=.题型7−2含三角函数与反三确函数的导数三角函数sinx与反三角函数arcsinx的求导公式分别为(sinx)′=cosx,21(arcsin)1xx′=−,两者不要相互混淆.其它三角函数与反三角函数的求导公式也不要相互混淆.例1.求函数y=sinx+tanx+secx的导数.解:y′=(sinx+tanx+secx)′=(sinx)′+(tanx)′+(secx)′按和差的求导法则=cosx+sec2x+secx⋅tanx.(tanx)′=sec2x,(secx)′=secx⋅tanx例2.求函数y=arcsinx+arccosx的导数.解:y′=(arcsinx+arccosx)′=(arcsinx)′+(arccosx)′按和差的求导法则602211011xx=−=−−.21(arcsin)1xx′=−21(arccos)1xx′=−−例3.求函数y=x2⋅lnx⋅cosx的导数.解:y′=(x2⋅lnx⋅cosx)′=(x2)′⋅lnx⋅cosx+x2⋅(lnx)′⋅cosx+x2⋅lnx⋅(cosx)′按乘积的求导法则(推广形式),2212lncoscosln(sin)xxxxxxxxx=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−1(ln)xx′=,(cosx)′=−sinx=2x⋅lnx⋅cosx+x⋅cosx−x2⋅lnx⋅sinx.例4.求函数y=x2⋅arctanx的导数.解:y′=(x2⋅arctanx)′=(x2)′⋅arctanx+x2⋅(arctanx)′按乘积的求导法则2212arctan1xxxx=⋅+⋅+21(arctan)1xx′=+222arctan1xxxx=⋅++.题型7−3含对数函数的导数对数函数的导数公式为1(log)lnaxxa′=.特殊地,有1(ln)xx′=,1(lg)ln10xx′=.例1.求函数y=lnx−2lgx+3log2x的导数.解:y′=(lnx−2lgx+3log2x)′=(lnx)′−2(lgx)′+3(log2x)′11123ln10ln2xxx=−⋅+⋅.lgx=log10x,1(lg)ln10xx′=题型7−4复合函数的导数求复合函数y=f[ϕ(x)]的导数时,要把y=f[ϕ(x)]进行分解,即令y=f(u),u=ϕ(x),其中要保证f(u)是基本初等函数.按复合函数的求导法则,有y′=f′(u)⋅ϕ′(x)=f′[ϕ(x)]⋅ϕ′(x),就是说y=f(u)对中间变量u的导数f′(u)与u=ϕ(x)对自变量x的导数ϕ′(x)的乘积f′(u)⋅ϕ′(x)就是复合函数y=f[ϕ(x)]的导数,但最后要将u换成ϕ(x).在求函数ϕ(x)的导数时,如果ϕ(x)仍是复合函数,则求导过程要重复上述过程.求复合函数的导数时,对复合函数的分解可以写出也可以不写出,即使不写出,分解过程仍是需要的,如何分解,中间变量是什么都要记在心中.61求复合函数的导数时,要始终想着函数y对自变量x的导数等于y对中间变量u的导数乘以中间变量u对自变量x的导数.例1.求函数y=sin2x的导数.解:y=sin2x是复合函数,可分解为y=u2,u=sinx.y′=(u2)′⋅(sinx)′按求导公式y′=f′(u)⋅ϕ′(x)=2u⋅cosx求导后把u换成sinx=2sinx⋅cosx=sin2x.不写分解过程,求导过程是:y′=(sin2x)′心里想着y=u2,u=sinx=2sinx⋅(sinx)′2sinx是y对u的导数(sinx)′是u对x的导数=2sinx⋅cosx=sin2x例2.求函数y=e2x的导数.解:y=e2x是复合函数,可分解为y=eu,u=2x.y′=(eu)′⋅(2x)′按求导公式y′=f′(u)⋅ϕ′(x)=eu⋅2求导后把u换成2x=2e2x.不写分解过程,求导过程是:y′=(e2x)′心里想着y=eu,u=2x=e2x⋅(2x)′e2x是y对u的导数(2x)′是u对x的导数=e2x⋅2=2e2x.例3.求函数y=ln(1+2x)的导数.解:y=ln(1+2x)是复合函数,可分解为y=lnu,u=1+2x.y′=(lnu)′⋅(1+2x)′按复合函数求导法则12212ux=⋅=+.求导后把u换成1+2x不写分解过程,求导过程是:y′=[ln(1+2x)]′心里想着y=lnu,u=1+2x1(12)12xx′=⋅++112x+是y对u的导数212x=+.说明:在上面不写分解过程求导时,先要记住函数的哪一部分看成中间变量u,中间变量u的表达式是什么,然后写出函数y对中间变量u的导数(说u时要写u的表达式),再乘以中间变量u的表达式对自变量x的导数.掌握了这种方法,求更复杂的复合函数的导数或复杂的初等函数的导数就容易了.62例4.求函数)1ln(2xxy++=的导数.解:221(1)1yxxxx′′=⋅++++把21xx++看成中间变量221[()(1)]1xxxx′′=⋅++++22211[1(1)]121xxxx′=+++++把1+x2看成中间变量222111(12)1211xxxxx=+=++++.例5.求函数y=sin2(cos3x)的导数.解:y′=[sin2(cos3x)]′把sin(cos3x)看成中间变量=2sin(cos3x)⋅[sin(cos3x)]′再把cos3x看成中间变量=2sin(cos3x)⋅cos(cos3x)⋅(cos3x)′再把3x看成中间变量=2sin(cos3x)⋅cos(cos3x)⋅(−sin3x)⋅(3x)′=2sin(cos3x)⋅cos(cos3x)⋅(−sin3x)⋅3=−3sin3x⋅sin2(cos3x).例6.求函数1(arcsin)yfx=的导数,其中f(u)为可导函数.解:1(arcsin)yfx=可写成y=f(u),1arcsinux=.111[(arcsin)](arcsin)(arcsin)yffxxx′′′′==⋅1[()]()(arcsin)fufufx′′′==)1()1(11)1(arcsin2′⋅−⋅′=xxxf在x1arcsin中,x1是中间变量)1()1(11)1(arcsin22xxxf−⋅−⋅′=)1(arcsin1||12xfxx′−−=.题型7−5求隐函数的导数方程F(x,y)=0在一定条件下可以确定一个函数y=f(x),函数y=f(x)称为由方程F(x,y)=0确定的隐函数.我们可以不必求出f(x)而求函数y=f(x)的导数,所采用的方法叫做隐函数求导法,即方程F(x,y)=0的每一项对x求导数,得到一个含y′的方程,再把y′从方程中解出来.这里需要注意的是,方程F(x,y)=0的每一项对x求导数时,要记住y是x的函数.63例1.求由方程y2−2xy+6=0确定的隐函数的导数.解:方程的每一项对x求导数,得要注意y是x的函数(y2)′−2(xy)′+(6)′=(0)′,y2要看成复合函数,(y2)′=2y⋅y′(xy)′=x′y+xy′=y+xy′即2y⋅y′−2(y+xy′)+0=0,解出y′得22()yyyyxyx′==−−.例2.求由方程ex−ey−4xy=0