1.4.1-全称量词与存在量词(1)

思考：下列语句是命题吗?它们有什么关系?（1）x3；（2）2x+1是整数；（3）对所有的x∈R，x3；（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，命题21xZx例如,命题（4）可记为，:是整数3xRx，命题（3）可记为:一、基础知识讲解并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫∀做全称命题。不是命题不是命题命题全称命题所描述的问题的特点：给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质例.下列命题是否是全称命题？（1）每一个三角形都有外接圆；（2）一切的无理数都是正数；（3）所有的鸟类都会飞；（4）实数都有算术平方根.注意：在写全称命题时，为了避免歧义，一般不要省略全称量词！“所有的”“任意一个”“任给”一、基础知识讲解“一切”，“每一个”，“全体”等(),(),()xpxqxrx通常，将含有变量的语句用,表示。全称命题的基本形式：22,sinsincosxRxxx例如：一、基础知识讲解xM变量的取值范围用集合表示。那么全称命题(),()MxpxxMpx“对中任意一个，有成立”可用符号简记为M()xpx读作“对任意属于，有成立”思考：观察下列命题，它们的形式有什么特点?（1）对所有的x∈R，x3；（2）对任意一个x∈Z，2x+1是整数.22111.xRxxx例.判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；（2），；（3）对每一个无理数，也是无理数1.要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；2.如果在集合M中能够找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题（举反例）判断全称命题真假性的方法：二、例题讲解举反例假真假思考：下列语句是命题吗?它们有什么关系?（1）2x+1=3;（2）x能被2和3整除;（3）存在一个x0∈R，使2x0+1=3;（4）至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，注：常见的特称量词还有很多，比如：“有一些”、“有一个”、“有的”、“对某个”等等0021xRx，使例如,命题（3）可记为:=30023xZx命题（4，能被）可记:和为整除一、基础知识讲解并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。不是命题不是命题命题命题例如.下命题是否是特称命题？（1）有一个四边形没有外接圆；（2）对某个实数x，它的算术平方根为9；（3）有的无理数的平方还是无理数；（4）有些奇函数的图象不过原点.特称命题所描述的问题的特点：给定范围内有一些元素具有某种共同的性质一、基础知识讲解000000,()()()xMpxMxpxMxpx特称命题“存在中的元素，使成立”可用符号记为：读作“存在中的元素，使成立”特称命题的基本形式：2000230xxx例2.判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数，使；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数.1.要判定特称命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；（举例证明）2.如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则该特称命题是假命题判断特称命题真假性的方法：二、例题讲解假假真全称命题：（1）基本形式：（2）意义：（3）真假性的判断：特称命题：（1）基本形式：（2）意义：（3）真假性的判断：,()xMpxM()xpx对任意属于，有成立只要有一个x值不成立，即为假命题00,()xMpx00M()xpx存在属于，使成立只要有一个x值成立，即为真命题三、小结•练习：p231()1.写出下列命题的否定并思考命题与命题的否定在形式所有的矩形都是上平有什么变化？行四边形；2()每一个素数都是奇数；23210(),xRxx1()存在一个矩形不是平行四边形；2()存在一个素数不是奇数；20003210(),xRxx否定:,()xMpx,()xMpx,()xMpx00,()xMpx00,()xMpx00,()xMpx二、练习：一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论:00,(),:xMpxxMpxpp对全称命题它的，：（否定）.全称命题的否定:（两变）“任意”变“存在”，“p(x)”变“﹁p(x)”三、基础知识讲解全称命题的否定是特称命题.1()1.写出下列命题的否定，并思考命题与命题的否定在形有些实数的式上有什么变化？绝对值是正数；2()某些平行四边形是菱形；2(3),10xRx否定:(1)所有实数的绝对值都不是正数;210,xRx00,()xMpx00,()xMpx00,()xMpx,()xMpx,()xMpx,()xMpx(2)所有的平行四边形都不是菱形;(3)二、练习：一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论:00,(),:xMpxMppxpx对特称命题它的否，：（定）.特称命题的否定:（两变）“存在”变“任意”，“p(x)”变“﹁p(x)”三、基础知识讲解特称命题的否定是全称命题.例1写出下列命题的否定:（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.（4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0；（5）p：有的三角形是等边三角形；（6）p：有一个素数含三个正因数.解：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数;（2）﹁p：存在一个四边形的四个顶点不共圆;（3）﹁p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.四、例题讲解（4）﹁p：∀x∈R，x2+2x+20（5）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形（6）﹁p：所有的素数都不含三个正因数四、例题讲解例1写出下列命题的否定:（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.（4）p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0；（5）p：有的三角形是等边三角形；（6）p：有一个素数含三个正因数.含有一个量词的命题的否定,(),(),,(),()xMpxxMpxxMpxxMpx一般地，我们有：“”的否定为“”“”的否定为“”。结论：全称命题的否定是特称命题特称命题的否定是全称命题六、小结例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的；（2）p：∃x0∈R，x02+2x0+2=0；（3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.解：（1）﹁p：存在两个等边三角形不相似这是个假命题（2）﹁p：∀x∈R，x2+2x+2≠0这是个真命题四、例题讲解224;5(1)14.（）：对所有的正实数，为正数且（）：存在一个实数，使或paaaaqxxx4:0paRaaa（），或；225(1)14qxRxx（）：，且；﹁p是真命题﹁q是假命题四、例题讲解（3）﹁p：存在实数m，使方程x2+x-m=0没有实根这是个真命题例2.写出下列命题的非，并判断它们的真假：（3）p：不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实根.224;5(1)14.（）：对所有的正实数，为正数且（）：存在一个实数，使或paaaaqxxx2.写出下列命题的否定形式：（1）实数的平方是正数；（2）四边形是矩形.（3）所有的抛物线与x轴都有两个交点；（4）存在函数既是奇函数又是偶函数；（5）每个矩形的对角线都相等；（6）至少有一个锐角a，可使sina=0；（7）∀a、b∈R，方程ax+b=0都有唯一解；1.命题“不是每个人都会开车”的否定是（）A.每个人都会开车B.所有人都不会开车C.有些人会开车D.存在一个人不会开车A五、练习含有一个量词的命题的否定,(),(),,(),()xMpxxMpxxMpxxMpx一般地，我们有：“”的否定为“”“”的否定为“”。结论：全称命题的否定是特称命题特称命题的否定是全称命题六、小结3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则对命题p：∀nm，anam，q：∀n≥1，有Sn≤0，其中n、m∈N+，若“p且﹁q”是真命题，则下列说法正确的是（）A．数列{Sn}是递减数列B．数列{Sn}是递增数列C．数列{Sn}是先减后增数列D．数列{Sn}是先增后减数列D五、练习练习：已知p：2,22xRxxa恒成立q：xR，使2220xaxa成立；若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围.解：若p为真，∵x2-2x+2=(x-1)2+1≥1∴a≤1若q为真，则△=4a2-8a≥0，解得a≤0，或a≥2∵p∨q为真，p∧q为假∴p、q一真一假若p真q假，则有若p假q真，则有故a的取值范围是(0，1]∪[2，+∞）10102aaa，即1202aaaa，即或2.已知命题p：函数)2(log25.0axxy的定义域为R，命题q：函数xay)25(是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是七、作业1.课本P27A组3B组1.指出下列命题是全称命题还是特称命题并判断它们的真假.（1）所有的抛物线与x轴都有两个交点；（2）存在函数既是奇函数又是偶函数；（3）每个矩形的对角线都相等；（4）至少有一个锐角a，可使sina=0；（5）∀a、b∈R，方程ax+b=0都有唯一解；全称，假特称，真全称，真特称，假全称，假七、练习：“所有的矩形都是平行四边2形.写出命题”的否定“不是所有的矩形都是平行四边形”或者“所有的矩形不都是平行四边形”也就是说“存在一个矩形不是平行四边形”3.已知函数f(x)的定义域为R，则f(x)为奇函数的充要条件是（）A.∃x0∈R，f(x0)=0B.∃x0∈R，f(x0)+f(-x0)=0C.∀x∈R，f(x)=0D.∀x∈R，f(x)+f(-x)=0D4.,_________1,2,3,4,ABxAxBxBxAxAxBxBxA设集合则下列命题正确的有（）总有；（）总有；（）使得；（）使得；（1）七、练习：5.下列命题中的假命题是（）A.对任意实数a和b，cos(a+b)=cosacosb–sinasinbB.不存在实数a和b，使cos(a+b)≠cosacosb-sinasinbC.存在实数a和b，使cos(a+b)=cosacosb+sinasinbD.不存在无穷多个a和b，使cos(a+b)=cosacosb+sinasinbD七、练习：6.已知集合AB，则下列说法：①,xAxB总有；②,xAxB总有；③,xAxB使得；④,xAxB但，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个A七、练习：全称命题：（1）基本形式：（2）意义：（3）真假性的判断：特称命题：（1）基本形式：（2）意义：（3）真假性的判断：,()xMpxM()xpx对任意属于，有成立只要有一个x值不成立，即为假命题00,()xMpx00M()xpx存在属于，使成立只要有一个x值成立，即为真命题小结理论迁移例1下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.（1）任意实数的平方都是正数；（2）0乘以任何数都等于0；（3）有的老师既能教中学数学，也能教中学物理；全称命题（假）全称命题（真）特称命题（真）（4）某些三角形的三内角都小于60°；（5）任何一个实数都有相反数.特称命题（假）全称命题（真）