第10章-矩阵位移法(李廉锟-结构力学)

第十章矩阵位移法§10-1概述§10-2单元刚度矩阵§10-3单元刚度矩阵的坐标转换§10-4结构的原始刚度矩阵§10-5支承条件的引入§10-6非结点荷载的处理§10-7矩阵位移法的计算步骤及示例§10-8几点补充说明手算：小型、简单问题，讲究技巧。一、手算与电算比较：电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、通用性。结构力学中的电算方法—结构矩阵分析方法(杆件有限元法)结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。超静定结构分析：力法，位移法，力矩分配法。§10-1概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：(1)公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。(2)各种情况可统一处理，通用性强。(3)计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。理论基础：位移法；分析工具：矩阵；计算手段：计算机对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。§10-1概述三、矩阵位移法的思路：1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程§10-1概述构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。1.结点和单元单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。四、基本概念§10-1概述2.坐标系4321123234结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。单元局部坐标系固定在单元上，轴与杆轴重合,自轴逆时针旋转900时的方向为轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。xxy§10-1概述离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系:整体(结构)坐标系;XY局部(单元)坐标系.曲杆结构:以直代曲.变截面杆结构:以等截面杆代变截面杆§10-1概述不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位移），每一个铰结点则有2个独立线位移。平面刚架单元的杆力列向量为TSNSN}{jjjiiiMFFMFFeF(10-1)平面刚架单元的杆端位移列向量为T)(}{jjjiiievuvuδ(10-2）注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。3.杆端位移和杆端力§10-1概述平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有TNN00}{jieFFF(10-3)杆端位移向量T}{jjiievuvuδ(10-4)其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。FFNN12e12杆端力向量212121vuuve§10-1概述作用于结点上的所有的力的合力,沿坐标轴方向分解为三个分量,构成该结点的结点力向量。4.结点力和结点位移与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵位移法的基本未知量。注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。§10-1概述杆端位移和杆端力的正负号：作用在结点上的外力和结点位移的正负号：5.正负号规定（强调）凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，反之为负值。力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负值。§10-1概述矩阵位移法基本思想:•化整为零------结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作单元。单元的连接点称作结点。•单元分析对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力•集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移§10-1概述1.建立单元杆端力与杆端位移之间的关系截面直杆单元e,其杆端位移列向量与杆端力列向量分别为T}{ejejejeieieievuvuδT}{ejeyjexjeieyiexieMFFMFFF§10-2单元刚度矩阵当杆端轴向位移为、时，，由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为eiuejueiejijuuΔlejeieiejexjejeieiejexiulEAulEAuulEAFulEAulEAuulEAF)()(（a）在线性小位移范围内，忽略轴向受力状态与弯曲向受力状态之间的影响。§10-2单元刚度矩阵杆端横向位移△ij正负号规定:使杆的j端绕i端作顺时针转时为正值。)(eiejijvvΔ由两端固定等截面直杆的转角位移方程有ejejeieieyjejejeieieyiejejeieieiejejeiejejejeieieiejejeieilEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIlvviiiMlEIvlEIlEIvlEIlvviiiM2323232322226126126126124626)(6422646)(624（b）§10-2单元刚度矩阵将上述（a）和（b）两式合在一起，写成矩阵形式，有ejeyjexjeieyiexiMFFMFFlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejejejeieieivuvu=——单元在局部坐标系中的单元刚度方程。它可记为}]{[}{eeeδKF（10-6a）§10-2单元刚度矩阵其中（10-7）1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000][lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK][eK称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。的行数等于杆端力向量的分量数,列数等于杆端位移向量的分量数，][eK][eK的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。§10-2单元刚度矩阵任一元素表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i号位移方向的反力。eijk1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000][lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK§10-2单元刚度矩阵单刚阵中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。][eK第1列的六个元素就是当(即端点i沿正方向发生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。1eiux1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000][lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK§10-2单元刚度矩阵124356从单刚元素的物理意义出发得到单刚阵图示量均是正的单元杆端位移示意§10-2单元刚度矩阵单元杆端力示意1F2F3F4F5F6F图示量均是正的§10-2单元刚度矩阵单一位移时的单元杆端力111lEAF114lEAF52232212FlEIF6222326FlEIF§10-2单元刚度矩阵3334lEIF3632lEIF5332236FlEIF单一位移时的单元杆端力§10-2单元刚度矩阵414lEAF444lEAF单一位移时的单元杆端力55525312EIFFl3556526EIFFl§10-2单元刚度矩阵6664lEIF6362lEIF5662266FlEIF单一位移时的单元杆端力§10-2单元刚度矩阵2.单元刚度矩阵的特性（反力互等定理）（1）是对称矩阵。)(jikkejieij][eK1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000][lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK§10-2单元刚度矩阵表达的杆端力和杆端位移的关系，对应于一个完全的自由单元，没有任何支承约束，可以有任意的刚体位移。(2)是奇异矩阵。][eK即，其逆矩阵不存在.0eK可以由杆端位移确定杆端力。反之，若已知杆端力，却不能由式反求杆端位移。eδeδeFeF}]{[}{eeeδKF}]{[}{eeeδKF物理概念为：局部坐标系中的单元刚度矩阵，只与单元的几何形状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。(3)位置无关性][eK矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。§10-2单元刚度矩阵单元刚度矩阵为:][eKlEAlEAlEAlEAlEA00000101000001010000000000003.其他单元的单元刚度矩阵TT00}{}{exjexieejejeieieFFvuvuFδejejeieiexjexivuvulEAlEAlEAlEAFF00000000000000（10-9）(1)平面桁架单元§10-2单元刚度矩阵若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：，，，。01eu01ev02ev02eu单元刚度方程为T21T21}{}{eeeeeMMeFδ(10-11)单元刚度矩阵为eeeelEIlEIlEIlEIMM21214224lEIlEIlEIlEIe4224][K（10