人教版八年级数学上册知识整理与经典例题

八年级数学上册知识总结与相关练习第1页共17页第十一章全等三角形一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。二、全等三角形１、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。注意：（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。２、全等三角形的符号表示、读法△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。注意：（１）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。３、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。４、三角形全等的识别方法（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。５、三角形全等的证明思路找夹角——ＳＡＳ（１）已知两边都是直角三角形——ＨＬ找另一边——ＳＳＳ找边的对角——ＡＡＳ（２）已知一边一角找夹角的另一边——ＳＡＳ找夹边的另一角——ＡＳＡ（３）已知两角找夹边——ＡＳＡ找其他任意一边——ＡＡＳ６、全等变换一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。三、角平分线的性质定理及逆定理１、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。注意：（１）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。（２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。２、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。３、三角形的内心利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。八年级数学上册知识总结与相关练习第2页共17页ABCDEFOABDCEABCDEABCDE12说明：（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。（２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。（３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。基础训练一．判断(1)边长相等的正方形都是全等图形;()(2)同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形.()(3)面积相等的两个三角形是全等三角形.()(4)两个全等三角形的面积相等.()(5)半径相等的两个圆是全等图形.()二、选择题：1、在ΔABC中，∠A=50°，BO、CO分别是∠B、∠C的平分线，交点是O，则∠BOC的度数是（）A.600B.1000C.1150D.13002、下列所说的三角形中，必定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是45°，腰长都是3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形3、在ABC和CBA中，BAAB，AA，若证CBAABC还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A.BBB.CCC.CBBCD.CAAC4、如图在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDFE的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm（4）（5）（6）5、如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（）A.∠DAE=∠CBEB.CE=DEC.ΔDEA不全等于ΔCBED.ΔEAB是等腰三角形6、如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS7、在ABC和CBA中，下列各组条件中，不能保证：CBAABC的是（）①BAAB②CBBC③CAAC④AA⑤BB⑥CCA.具备①②③B.具备①②④C.具备③④⑤D.具备②③⑥8、如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（）A.3B.4C.5D.69、两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）A.两角和一边B.两边及夹角C.三个角D.三条边10、如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（）八年级数学上册知识总结与相关练习第3页共17页ABCDE1234ADBCE132ABCDA.一定全等B.一定不全等C.不一定全等D.面积相等10.如图△ABC中，AD⊥BC，D为BC中点，则以下结论不正确的是（）A.ΔABD≌ΔACDB.∠B=∠CC.AD是A的平分线D.ΔABC是等边三角形三.解答题：1、已知：如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB2、已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．3.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．4、如图点A、B、C、D在同一直线上，ADAE，ADFD，垂足分别为A、D，AE=DF，AC=BD，求证：BE=CF。5、如图ABD和ACE均为等边三角形，求证：DC=BE。6、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE。7、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF八年级数学上册知识总结与相关练习第4页共17页第十二章轴对称一、知识整理（一）基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.（二）主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.对称点的坐标规律（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.（三）有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.八年级数学上册知识总结与相关练习第5页共17页基础训练1.等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为()A.22B.29C.22或29D.172.如图14－110所示，图中不是轴对称图形的是()3.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是()A.∠A=50°，∠B=70°B.∠A=70°，∠B=40°C.∠A=30°，∠B=90°D.∠A=80°，∠B=60°4.如图14-111所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若∠BDC=69°，则∠A等于()A.32°B.36°C.48°D.52°5.右图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（）A.8mB.4mC.2mD.6m6.等腰三角形有条对称轴.等边三角形有条对称轴.7.在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=140°，则∠A=.8.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=_______9、（1）等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为；（2）等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为.10、分别写出下列各点关于x轴及y轴对称的点的坐标：（—2，6）（1，—3）（—5，—12）（6，—1）（0，10）（12，0）关于x轴对称___________________________________________________________________________关于y轴对称___________________________________________________________________________三、尺规作图11、如图，△ABC和△A´B´C´成轴对称图形，试作出对称轴12、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。13、在右图中找出点P，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。ABCC´A´B´八年级数学上册知识总结与相关练习第6页共17页14、如下图（左），某地由于居民增多，要在直线公路上建一个公共汽车站，A、B为居民区，要求汽车站到两个居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在哪里？15、在下图（右）直线上找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小。16、如右图，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1），C（—1，6），D（—5，4），请分别作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标。17、某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位。请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？四、应用提高18、在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，求△ABC各角度数。19、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。20、如图，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC21、已知等腰三角形的两边a，b，满足532ba+(2a+3b-13)2=0，求此等腰三角形的周长。22、如图14－106所示，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数.八年级数学上册知识总结与相关练习第7页共17页23、如图14－104所示，已知∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.求证BD=41AB.24、如图14-109所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4