高校(理工类)数学拉格朗日插值公式教学(课堂讲义)

§3.3拉格朗日插值公式线性插值仅仅利用两个结点上的信息，精度很低。下面考察下述三点插值问题：给定含有三个结点的函数表：作二次多项式y=p2(x)，使y=p2(x)在结点x0，x1，x2分别取函数值y0，y1，y2，即满足条件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2问题的提出已知y=f(x)在结点x0，x1，x2分别取函数值y0，y1，y2，求二次多项式y=p2(x)=a0+a1x+a2x2，满足条件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2根据要满足的三个条件，确定三个未知数a0，a1，a2满足，因此可采用待定系数法。即：222210221211012020100xaxaayxaxaayxaxaay基本插值多项式为了得到插值多项式y=p2(x)，先解决一个比较简单的插值问题：寻求二次式A0(x)，使满足条件A0(x0)=1，A0(x1)=0，A0(x2)=0或者说，使适合下列函数表这样的插值多项式不难直接构造出来。为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。基本插值多项式由条件A0(x1)=A0(x2)=0知，A0(x)含有x–x1和x–x2两个因子，令A0(x)=λ(x–x1)(x–x2)再用条件A0(x0)=1确定其中的系数λ，结果得到：20101xxxx基本插值多项式类似地作出满足条件A1(x0)=0，A1(x1)=1，A1(x2)=0与A2(x0)=0，A2(x1)=0，A2(x2)=1的插值多项式A1(x)与A2(x)：得到的三个插值多项式Ak(x)（k=0,1,2）统称以x0，x1，x2为结点的基本插值多项式。二次插值用这些基本插值多项式作出的线性组合y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x)显然是个不超过2次的多项式，并且满足条件（7），因而即为所求的插值多项式y=p2(x)。基本插值多项式Ak(x)的表达式上面已经导出，代入上式得到：二次插值的几何意义这种二次插值的几何解释是，用通过三点(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)所作的抛物线来近似曲线y=f(x)，因此二次插值亦称抛物插值(图3-2)。举例[例3-3-1]利用100，121和144的平方根，求。[解]利用抛物插值公式其中，x0=100，y0=10；x1=121，y1=11；x2=144，y2=12；又x=115，代入求得再同所求平方根的实际值10.7238比较，得到了具有4位有效数字的结果。一般形式的插值问题（n次插值）进一步讨论一般形式的插值问题。设函数y=f(x)在区间[a,b]上有节点x0,x1,…,xn上的函数值，构造一个次数不超过n次的代数多项式使。即n次代数插值满足在n+1个节点上插值多项式和被插值函数f(x)相等，而且插值多项式P(x)的次数不超过n次。0111axaxaxaxpnnnnnniyxpiii,,1,0,一般形式的插值问题（n次插值）仿照线性插值和二次插值所采用的办法，仍从构造所谓基本插值多项式着手。先对某个固定的下标k，作n次多项式Ak(x)，使满足条件：或者说，使适合下列简单形式的函数表：一般形式的插值问题如果对每个下标k(k=0,1,2,…,n)能作出这样的基本插值多项式Ak(x)，那么它们的线性组合：就是所求的插值多项式。事实上，由于Ak(x)都是n次的，pn(x)的次数不会超过n。另外，利用(8)式，得即y=pn(x)确实满足所给条件。一般形式的基本插值多项式于是，问题归结为具体求出基本插值多项式Ak(x)。根据(8)式，xk以外的所有结点都是Ak(x)的零点，因此，令这里符号П的含义是累乘，表示乘积遍取j从0到n除j=k以外的全部正整数值。式中的λ为待定系数。拉格朗日插值公式待定系数λ通过(8)式中尚未用过的一个条件Ak(xk)=1来确定它，结果得：称为拉格朗日基函数，代入(9)式，即得所求插值多项式y=pn(x)的表达式：上式就是所谓拉格朗日（Lagrange）插值公式。拉格朗日插值的实现在给定点x，用插值公式(10)计算y=pn(x)的值作为函数f(x)在x点处的近似值，这个过程称作插值。插值多项式的次数称作插值的阶。点x称作插值点。如果插值点x位于插值区间内，这种插值过程称内插，否则称作外推。拉格朗日公式(10)在逻辑结构上表现为二重循环。内循环(j循环)由累乘求得系数：然后再通过外循环(k循环)由累加得到结果：拉格朗日插值对于拉格朗日插值公式，特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物插值,其几何意义为过三点的抛物线.应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。拉格朗日插值多项式的唯一性[证]：设所求的插值多项式为：pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn则由插值条件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得关于系数a0,a1,…,an的线性代数方程组设节点xi(i=0,1,…,n)互异,则满足插值条件pn(xi)=yi的n次多项式pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一。定理拉格朗日插值多项式的唯一性nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙行列式，即：拉格朗日插值多项式的唯一性nnnnnnxxxxxxxxx212110200111拉格朗日插值多项式的唯一性由于插值节点xi互不相同,所有因子xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组的解存在且唯一.即满足条件式的n次多项式存在且唯一。证毕。0110niijjixxijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200拉格朗日插值多项式的唯一性反证：若不唯一，则除了Pn(x)外还有另一n阶多项式Q(x)满足Q(xi)=yi。考察则S的阶数,)()()(xQxpxSnn而S(x)有个不同的根n+1x0…xn矛盾只有S(x)≡0，所以Pn(x)＝Q(x)唯一性说明不论用哪种方法构造的插值多项式，只要满足同样的插值条件，其结果都是互相恒等的。