抛物线方程、几何性质基础训练

抛物线方程、几何性质基础训练一、选择题：1.顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）A.x2＝8yB.x2＝4yC.x2＝2yD.yx2122.焦点为直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程是（）A.2y=16xB.2x=－8y或2y=16xC.2x=8yD.2x=8y或2y=－16x3.抛物线)0(12mxmy的焦点坐标是（A）A．(0,m41)B.（0，－4m）C.（0，4m）D.(0,－m41)4.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线上一点（－2，m）到焦点的距离是5，则m的值是（）A.4B.4C.26D.265.已知M为抛物线xy42上一动点，F为抛物线的焦点，定点1,3P，则||||MFMP的最小值为（）A.3B.4C.5D.66．过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别是p、q，则qp11=（）A.a2B.a21C.a4D.a47.抛物线2xy上的点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（）A．（21，41）B.（23，49）C.(2,4)D.(1,1)8.一抛物线型拱桥，当水面宽26m时，水面离拱顶3m，当水面宽4m时，水面（）A.上升1mB.下降1mC.上升2mD.上升3m9.设椭圆12222nymx，双曲线12222nymx，抛物线xnmy)(22（其中0nm）的离心率分别为321,,eee，则（）A.1e2e3eB.1e2e3eC.1e2e=3eD.1e2e与3e大小不确定10.已知A、B是抛物线2y=2px（p0）上两点，O为坐标原点，若OA=OB,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（）A.x＝pB.x＝23pC.x＝3pD.x＝25p二、填空题：11.设抛物线2y=8x的焦点为F，A为抛物线上的一点，且FA＝6，则点A的坐标是_____.12.若抛物线2y=2px（p0）上一点M到准线和到对称轴的距离分别是10和6，则该抛物线的方程是______________.13.过点（0，－2）和抛物线C:2y=2x只有一个公共点的直线有_________条.14.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线022ppxy上，则这个正三角形的边长为____________奎屯王新敞新疆15.设P是曲线)1(42xy上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是_________.16.过抛物线2y=2px（0p3）的焦点F，倾斜角为30的直线与圆（x－3）2＋2y＝1相切，则此抛物线的准线方程是____________.三、解答题：17.已知直线bxy与抛物线pxy220p相交于A、B两点，若OBOA，（O为坐标原点）且52AOBS，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆18.已知抛物线2y=2px(p0),过焦点F的弦的倾斜角为（0）,且与抛物线相交于A、B两点.(1)求证:AB=2sin2p;(2)求AB的最小值.【2p】19.已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线022ppxy上，（1）分别求A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段AB上的射影M的轨迹方程奎屯王新敞新疆20.若抛物线2y=x上总存在关于直线l：y－1＝k（x－1）对称的相异两点，试求k的取值范围.【（-2，0）】21.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有0FAFB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：一、选择题：ABCDBCDABD二、填空题：11.)24,4(；12.xyxy36422或；13.3；14.p34；15.5；16.x=-1.三、解答题：17.答案：xy2218.解：设Ａ（1x，1y），B（2x，2y）Ｆ（0,2p），AB的方程为y=tan(x－2p),与抛物线联立，消去y并整理得，22tanx－（2tan2pp）04tan22px,21xx=22tantan2pp,又由抛物线定义可得AB＝21xx＋p弦长AB＝22tantan2pp＋p=2sin2p.(2)0,由（1）知当＝2时，minAB＝2sin22p＝2p.19.答案：（1）2214pyy；2214pxx；（2）直线AB过定点0,2p；（3）点M的轨迹方程为0222xpypx奎屯王新敞新疆20.解析：设直线l垂直平分抛物线的弦AB，设A（1x，1y）、B(2x，2y),则222121,xyxy.于是212121))((xxyyyy.∴212121yyyyxxk.设AB的中点M（),00yx，则22210kyyy.又点M在抛物线内部.kk121)2(2,即0)22)(2(2kkkk.解得－2k0,故k的取值范围是（－2，0）.21.解：（Ⅰ）设(,)Pxy是曲线C上任意一点，那么点(,)Pxy满足：)0(1)1(22xxyx化简得)0(42xxy（Ⅱ）设过点)0()0,(mmM的直线l与曲线C的交点为1122(,),(,)AxyBxy。设l的方程为xtym，由24xtymyx得2440ytym，.0)(162mt于是121244yytyym①又1122(1,),(1,)FAxyFBxy01)()1)(1(02121212121yyxxxxyyxxFBFA②又24yx，于是不等式②等价于01)44(442221212221yyyyyy01]2)[(4116)(22122121221yyyyyyyy③由①式，不等式③等价于22416tmm对任意实数t，24t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于0162mm，即223.223m.由此可知，存在正数m，对于过点(,0)Mm，且与曲线C有两个交点,AB的任一直线，都有0FBFA，且m的取值范围是(322,322)