抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

1抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0）离心率1e通径2p焦半径11(,)Axy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦长AB以AB为直径的圆必与准线l相切2的补充11(,)Axy22(,)Bxy若AB的倾斜角为，22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124pxx212yyp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp3．抛物线)0(22ppxy的几何性质：(1)范围因为p0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．(3)顶点（0，0），离心率：1e，焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距p．(4)焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB,则pxxAB21||．弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF(1)若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)Axy，22(,)Bxy，则：2124pxx，212yyp。(2)若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则22sinPAB（α≠0）。(3)已知直线AB是过抛物线22(0)ypxp焦点F,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5．弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则221212()()ABxxyy||11||1212212yykxxk【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.3【例1】P为抛物线pxy22上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）.A相交.B相切.C相离.D位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF，准线是:2plx.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PFPH，且2pQHOF.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，111222MNOFPQPHPF.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线022ppxy的焦点F作直线交抛物线于1122,,,AxyBxy两点，求证：（1）12ABxxp（2）pBFAF211【证明】（1）如图设抛物线的准线为l，作1AAl11111,2pABBlBAAx于，则AF，122pBFBBx.两式相加即得：12ABxxp（2）当AB⊥x轴时，有AFBFp，112AFBFp成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：2pykx.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pkxpkxk∵方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx.XYPHMNO(,0)2pF:2plx=-22ypx=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l4122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxxxxx121222121222424xxpxxppppppxxpxx.故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有pBFAF211成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线22ypx上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程22ypx两边取导数：22.pyypyy，切线的斜率00xxpkyy.由点斜式方程：20000001pyyxxyypxpxyy20021ypx，代入（）即得：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆恒与直线02x相切，则此动圆必过定点（）.4,0.2,0.0,2.0,2ABCD显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线22ypx的通径长为2p；3.设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为1122,,,AxyBxy，那么：212yyp以下再举一例【例4】设抛物线22ypx的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为1122,,,AxyBxy，5那么：22121112.yypCACByyp设抛物线的准线交x轴于C，那么.CFp2111111.90AFBCFCACBAFB中故.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：yxm.由223013yxmxxmyx设方程（1）之两根为x1，x2，则121xx.设AB的中点为M（x0，y0），则120122xxx.代入x+y=0：y0=12.故有11,22M.从而1myx.直线AB的方程为：1yx.方程（1）成为：220xx.解得：2,1x，从而1,2y，故得：A（-2，-1），B（1，2）.32AB，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积（）A．4B．33C．43D．8【解析】如图直线AF的斜率为3时∠AFX=60°.△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M，则2,FMpXYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=ÿXYOF(1,0)AK60°Y2=2pxL:x=-1M6xyM(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)OH2:alxc=-r1r2r2且∠KFM=60°，∴234,4434AKFKFS.选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式234Sa计算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)xyCabab，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的线为l，焦点为21FC；与2C的一个交点为M，则12112FFMFMFMF等于（）A．1B．1C．12D．12【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作MHlH于，令1122,MFrMFr.∵点M在抛物线上，1112222,MFMFrMHMFreMHMFr故，这就是说：12||||MFMF的实质是离心率e.其次，121||||FFMF与离心率e有什么关系？注意到：1212111122111FFerrceaeeMFrrre.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于12112||||11||||FFMFeeMFMF.∴选A..7（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.抛物线xy82的【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线;2lx.（Ⅱ）直线AB：tan21.yx28yx代入（1），整理得：2tan816tan02yy设方程（2）之二根为y1，y2，则12128tan16yyyy.设AB中点为1200020044cot,,2tancot24cot2yyyMxyxy则AB的垂直平分线方程是：24cotcot4cot2yx.令y=0，则224cot64cot6xP，有，0故2224cot624cot14cosFPOPOF于是|FP|-|FP|cos2a=2224csc1cos24csc2sin8，故为定值.（5）消去法——合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的