双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质【学习障碍】1．理解障碍(1)关于双曲线对称性的理解把双曲线方程中的y换为－y，方程不变，说明双曲线关于x轴对称．其原因是设(x，y)为双曲线上的一点，y换为－y方程不变，说明(x，－y)也在此双曲线上，由于点(x，y)，(x，－y)关于x轴对称，故整个双曲线关于x轴对称．同理，分别用(－x，y)及(－x，－y)代换方程中的(x，y)，方程都不改变，这说明双曲线关于y轴、原点都是对称的，因此坐标轴为对称轴，对称中心为原点．(2)关于对双曲线渐近线的理解除按课本上的证明方法外，渐近线还可以这样理解：双曲线(H)22ax－22by＝1方程即(ax＋by)(ax－by)＝1，当双曲线上点P(x，y)在第一、三象限且远离原点时，|ax＋by|→＋∞，此时ax－by→0，当点P(x，y)在二、四象限远离原点时，|ax－by|→＋∞，此时ax＋by→0；这些表明双曲线(H)上位于一、三象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近直线ax－by＝0，位于二、四象限的点远离原点时，双曲线越来越靠近ax＋by＝0，因此把直线ax＋by＝0与ax－by＝0叫做双曲线(H)的渐近线．(3)关于对离心率e的理解由于e＝ac＝aba22=21ab，e越大，渐近线y＝abx的斜率就越大，这时渐近线y＝－abx到y＝abx的角就越大，从而双曲线开口就越阔，反之，e越小，双曲线开口就越窄．2．解题障碍(1)双曲线焦点位置的判定双曲线的焦点位置除题目直接告诉外，还可根据顶点位置．实轴(虚轴)、准线位置等判定，另外也可根据点在渐近线的上方还是下方来确定．(2)双曲线方程的几种变形以双曲线22ax－22by＝1(a＞0，b＞0)为例，如果将右边的常数1换为0，即22ax－22by＝0就是其渐近线方程，但反过来就不正确．如果将常数1换为－1，即22ax－22by＝－1为其共轭双曲线方程，如果将常数1换为λ(λ≠0)，即为与原双曲线有共同渐近线的双曲线系方程，注意它们的应用．另外，以直线ax±by＝0为渐近线的双曲线系为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线的几个重要性质渐近线为y＝±x，离心率e＝2均是双曲线为等轴双曲线的充要条件，掌握这些性质可以很好地解决解题思路．【学习策略】1．待定系数法根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式，善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量．这一点正体现双曲线的几何性质的应用．综上可简记为：“巧设方程立好系，待定系数求a、b；结合图形用性质，避免繁琐用定义．2．定义法与焦点有关的距离，通过定义转化往往收到事半功倍的效果．3．利用双曲线系利用具有共同渐近线或共焦点的双曲线系求双曲线方程往往要比用其他方法简单易行，另外，已知两渐近线方程，也应能写出对应的双曲线系．【例题分析】［例1］已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4，3)，求双曲线的标准方程．策略：思路一：已知渐近线方程，即知道a与b的比，可用a、b中的一个未知数表示出双曲线的标准方程，但要判断点P的位置，才能确定双曲线方程的类型，再由点P在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程．思路二：已知渐近线方程可用双曲线系写出标准方程，再把P点坐标代入方程可求出参数λ，从而求出双曲线方程．解法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0即y＝21x，当x＝4时，y＝2＜yP＝3∴焦点在y轴上，即ba＝21，设a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．∴双曲线方程为－22224kykx＝1∵P(4，3)在双曲线上，∴－229416kk＝1，∴k2＝5∴a2＝5，b2＝20∴所求双曲线方程为－52022yx＝1解法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即2x－y＝0∴双曲线的渐近线方程为42x－y2＝0．∴可设双曲线方程为42x－y2＝λ(λ≠0)∵双曲线经过点P(4，3)∴442－32＝λ，λ＝－5∴所求的双曲线方程为42x－y2＝－5，即－52022yx＝1．评注：由已知条件求双曲线方程时，首先要确定其定位条件，即要确定焦点在哪个坐标轴上，再根据其他条件确定其定形条件，即a、b的值．在定位时，一般把已知点横坐标xP代入渐近线所得的y值与yP比较可知P点在渐近线上方或下方，由此确定焦点的位置．解法二利用了共渐近线的双曲线系，避免了对双曲线方程类型的讨论，简化了解题过程，在共渐近线的双曲线系方程22ax－22by＝λ(λ≠0，λ为参数)中，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．［例2］已知双曲线的离心率e＝25，且与椭圆31322yx＝1有共同焦点，求该双曲线的标准方程．策略：可先求出椭圆的焦点即双曲线的焦点，由离心率可得出a进而求出b，可得双曲线方程．解法一：椭圆中：a2＝13，b2＝3∴c＝313＝10，焦点F(±10，0)在x轴上，∴双曲线的焦点也在x轴上，且c＝10．由e＝25得a10＝25∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．∴所求双曲线方程为2822yx＝1．解法二：设与椭圆共焦点的双曲线方程为kykx31322＝1(3＜k＜13)即31322kykx＝1，∴a＝k13，c＝10∴离心率e＝ac＝k1310，即k1310＝25解得k＝5．∴所求双曲线方程为2822yx＝1．评注：解法二用了共焦点的圆锥曲线系方程，简化了解题过程，一般地与椭圆22ax+22by＝1共焦点的圆锥曲线系方程为kax22+kby22＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．当k＜b2时，方程表示椭圆，当b2＜k＜a2时，方程表示双曲线．［例3］已知中心在原点的双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，渐近线方程为3x±4y＝0，求此双曲线的共轭双曲线的方程．策略：由已知渐近线的方程可得出a、b间的关系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出双曲线方程，也可用双曲线系方程求解．解法一：∵渐近线方程为3x±4y＝0，即y＝±43x．∵焦点F(±5，0)在x轴上，∴ab＝43，设a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1∴a2＝16，b2＝9∴双曲线方程为91622yx＝1，它的共轭双曲线方程为－91622yx＝1．解法二：∵双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线系方程为9x2－16y2＝λ(λ＞0)．即16922yx＝116922yx∴a2＝9，b2＝16，c＝5∴9＋16＝25∴λ＝9×16∴双曲线方程为91622yx＝1，它的共轭双曲线方程为91622xy＝1．评注：利用双曲线系方程，可以简化运算．渐近线方程为ax±by＝0的双曲线系方程为a2x2－b2y2＝λ(λ＞0时焦点在x轴上，λ＜0时焦点在y轴上)．［例4］已知F1、F2是双曲线＝1的两个焦点点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求证PF1⊥PF2．策略：要证PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是证明两直线斜率之积为－1，这需要先求出点P的坐标(x0，y0)或x02与y02，但计算相当麻烦，再一个方法是用勾股定理，这需要先求出|PF1|与|PF2|，可以考虑用双曲线的两个定义解决．解法一：设点P的横坐标为x0，当点P在双曲线的右支上时，根据双曲线第二定义得|PF1|＝e(x0＋ca2)＝ex0＋a(F1为左焦点)，|PF2|＝e(x0－ca2)＝ex0－a(F2为右焦点)．∴|PF1|2＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2．∵|PF1|·|PF2|＝32∴e2x02－a2＝32∴e2x02＝32＋a2∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝4×(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2∴同理，当点P在双曲线左支上时，仍可得PF1⊥PF2．解法二：∵点P在双曲线上，依据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6∴(|PF1|－|PF2|)2＝36又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100又|F1F2|2＝4c2＝100．∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2∴PF1⊥PF2．评注：双曲线的定义不仅是推导双曲线方程的依据，也是解题的常用方法，用这一方法可以解决有关双曲线的焦点、准线等许多问题．［例5］某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图8—4—1所示)|PA|＝100m，|PB|＝150m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．策略：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同样近．显然第三类点是第一、第二类点的分界．解：设M是分界线上的任意一点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三类点M满足性质：点M到定点A与定点B的距离之差等于常数50，符合双曲线的定义，所以M点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，所以问题转化为求双曲线的方程．在△PAB中，由余弦定理得|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|·cos60°＝1002＋1502－2×100×150·21＝17500∴以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，则界线是双曲线孤375062522yx＝1(x≥25)所以运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省．评注：本题通过建立直角坐标系,利用点的集合的性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)，从而确定最优化区域．［例6］(2000年·全国高考)如图8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E满足|AE|＝λ|EC|，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e的取值范围．策略：设出双曲线方程，由E、C坐标适合方程，找出各字母之间的联系，特别是e同λ的关系求之．解：如图8—4—2，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(2c，h)，E(x0，y0)，其中c＝21|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝λ(2c－x0，h－y0)得：x0＝)1(2)2(c，y0＝1h．设双曲线方程为22ax－22by＝1，则离心率e＝ac，由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝ac代入双曲线的方程得：②11124①142222222bhebhe由①式得14222ebh③将③式代入②式，整理得42e(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－232e．依题设32≤λ≤43得：32≤1－232e≤43，解得7≤e≤10所以，双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．评注：解本题关键找出离心率e与λ的关系，对于λ＝1－232e，也可整理为e2＝121＝13－2，再用观察法求得7≤e≤10．该题对考查学生思维能力、运算推理能力、综合运用数学知识等能力都有较高要求，作为高考题可谓当之无愧．［例7］设双曲线22ax－22by＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为43c，求双曲线的离心率。解析：由直线的截距式方程和直线l的方程为：byax＝1，即bx＋ay－ab＝0．由点到直线的距离公式得：cbaab4322．又由双曲线方程知：b2＋a2＝c2∴ab＝43c2，∴a2b2＝163c4∴a2(c2－a2)＝163c4，∴3e4－16e2＋