二元一次方程组特殊解法

黄冈教育@张家界教育中心内部使用1二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。2、灵活消元（1）整体代入法5.解方程组yxxy1423231解：原方程组可变形为435231xyxy继续变形为232512312xyxxy2代入1得：125xx3解得：y73方程组的解为xy373（2）先消常数法例6.解方程组433132152xyxy解：1×5－2得：17170xyxy33代入1得：y3把y3代入3得：x3所以原方程组的解为xy33（3）设参代入法例7.解方程组xyxy321432::黄冈教育@张家界教育中心内部使用2解：由2得：xy43设xyk43，则xkyk433，把3代入1得：492kk解得：k25把k25代入3，得：xy8565，所以原方程组的解是xy8565（4）换元法例8.解方程组xyxyxyxy23634解：设xyaxyb，，则原方程组可变形为3236340abab，解得ab2418所以xyxy2418解这个方程组，得：xy213所以原方程组的解是xy213（5）简化系数法例9.解方程组43313442xyxy解：1＋2得：777xy所以xy131－2得：xy14黄冈教育@张家界教育中心内部使用3由3、4得：xy01解三元一次方程组的消元技巧解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数例1．解方程组24393251156713.xyzxyzxyz，，①②③分析：方程组中含y的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数y.解：①+②×2，得81331xz，④②×3-③，得4820xz，⑤解由④、⑤组成的方程组，得13xz，⑥把⑥代入①，得12y，所以原方程组的解是1312xyz.二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.例2．解方程组3472395978.xzxyzxyz，，①②③分析：因为方程①中缺少未知数y项，故而可由②、③先消去y，再求解.解：②×3+③，得111035xz，④解由①、④组成的方程组，得52xz，⑤把⑤代入②，得13y，黄冈教育@张家界教育中心内部使用4所以原方程组的解为5132xyz.三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.例3．解方程组275322344.yxxyzxz，，①②③分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z、y的项，而都含有未知数x的项，从而可用含x的代数式分别表示y、z，再代入②就可以直接消去y、z了.解：由③，得314zx，④把①、④代入②，得2x，⑤把⑤代入①，得3y，⑥把⑤代入③，得12z，所以原方程组的解是2312xyz.四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元1．整体代入法即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.例4．解方程组5154383210791458.xyzxyzxyz，，①②③分析：注意到①中的5155(3)xyxy，这就与②有了联系，因此，①可化为5(32)638xyzz，把②整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值.解：由①，得5(32)638xyzz，④把②整体代入④，得2z，把2z代入①、③，得515307930xyxy.⑤黄冈教育@张家界教育中心内部使用5解⑤，得31xy.所以原方程组的解是312xyz.2．整体加减法例5．解方程组1151.xyzyzxzxy，，①②③分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.解：①+②+③，得17xyz，④再由④分别减去①、②、③各式，分别得3z，6x，8y.所以原方程组的解是683xyz.3．整体改造例6．解方程组2011487271045477.xyzxyzxyz，，①②③分析：按常规方法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系：②中含y、z项的系数是①中对应系数的4倍；③中含x、z项的系数是①中对应系数的27倍.因此可对②、③进行整体改造后，综合加减法和代入法求解.解：由②、③，得74(2)727(2)7777.xxyzxyzy，④⑤再将①代入④、⑤，得1x，1y.把x、y的值代入，得1z.所以原方程组的解为111xyz.4．参数法例7．解方程组34524.xyzxyz，①②黄冈教育@张家界教育中心内部使用6分析：由于345xyz，所以可设345xyzk，则得3xk，4yk，5zk.③③代入②可得2k，代入③易求x、y、z.解：设345xyzk，则得3xk，4yk，5zk.③③代入②，得2k，代入③，得6810xyz.评注：这里的k被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知数x、y、z的直接变换消元，从而大大减少了运算量.