第十一章-结构的极限荷载

1第十一章结构的极限荷载§11-3超静定梁的极限荷载§11-1概述§11-2极限弯矩、塑性铰和极限状态§11-4比例加载时判定极限荷载的一般定理§11-5刚架的极限荷载2主要内容：结构进入塑性状态后的承载力(极限荷载)研究。结构类型：梁和刚架。讨论的目的：确定结构的极限荷载。问题是：为什么讨论结构进入塑性状态时的极限荷载呢？§11-1概述3从两种设计方法入手来讨论问题：一、两种结构设计方法1、弹性设计计算假定：结构材料的应力和应变之间为线性关系，卸载后结构恢复原状，没有残余变形。利用弹性计算的结果，以许用应力（弹性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验算，就是弹性设计的作法。前面主要讨论的是“结构的弹性计算”。4对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，弹性计算能够给出足够精确的结果。弹性设计方法的缺点：弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构的这部分承载力，所以弹性设计不够经济合理。如对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构当最大应力到达屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段时，结构并未破坏，即是说，结构并未耗尽全部承载能力。52、塑性设计塑性设计方法：首先确定结构破坏时所能承担的荷载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系数得出容许荷载并进行设计。消除了弹性设计方法的缺点。怎样确定结构的极限荷载呢？必须考虑材料的塑性变形，进行结构的塑性分析。为简化计算，通常假设材料为理想弹塑性材料(还有理想刚塑性、线性硬化弹塑性和线性硬化刚塑性材料等)。6二、材料的应力——应变关系sεsεABCDob)弹塑性硬化模型理想弹塑性材料，其应力与应变关系如下：a)理想弹塑性模型ssεsεPεεABCDoε71、残余应变当应力达到屈服应力σs后，从C点卸载至D点，即应力减小为零。此时应变并不等于零，而为εP。由右图可以看出：ε=εs+εP，εP是应变的塑性部分，称为残余应变。理想弹塑性模型ssεsεPεεABCDoε8sεABCoAεBεCε1A1B1C1可见，弹塑性问题与加载路径有关。2、应力与应变关系不唯一当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应变ε与之对应。9分析可知：(1)材料在加载与卸载时情形不同，加载时是弹塑性的，卸载时是弹性的。(2)在经历塑性变形后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应变值可对应于不同的应力值。(3)要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变形过程。所以，结构的弹塑性计算要远比结构的弹性计算复杂得多。10§11-2极限弯矩、塑性铰和极限状态主要内容：解释几个基本概念，极限弯矩、塑性铰和极限状态。图示例：纯弯曲状态下的理想弹塑性材料的矩形截面梁。随着弯矩M的增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）MhMb11实验表明：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时的平面假定都成立。a)b)c)ssy0y0sssshb12一、极限弯矩分析：(1)图(a)表示截面处于弹性阶段。该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：ssa)26SsbhM（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为塑性区，应力为常数，b)y0y0ss13syy0=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性核，其应力为直线分布，即：(3)图(c)表示截面达到塑性流动阶段。在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极限弯矩”，即：subhM42c)ss14比较两式可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。二、塑性铰和极限荷载在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰15只能沿弯矩增大的方向发生有限的相对转角。若沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质。FPul/2l/2FPuMuMu上图示简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度16可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称为极限荷载FPu。例11-1-1设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载作用(图a)，试求极限荷载FPu。解：由M图知跨中截面弯矩最大，在极限荷载作用下，塑性铰将在跨中截面形成，弯矩达极限值Mu(图b)。(a)PF2/l2/l(b)PuFuM17uPuMlF4由此得出极限荷载FPu，即有lMFuuP4最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形式的截面形状，也有类似的结果。由静力条件，有：18§11-3超静定梁的极限荷载对于静定结构，当一个截面出现塑性铰时，结构就变成了具有一个自由度的机构而破坏。对于具有n个多余约束的超静定结构，当出现n+1个塑性铰时，该结构变为机构而破坏。或者出现的塑性铰数虽少于n+1个，但结构局部已经变为机构而破坏。19一、单跨超静定梁的极限荷载为了求得极限荷载，需确定结构的破坏形态，即确定塑性铰的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结构变形的过程以及塑性铰形成的次序。20利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法。利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。例11-3-1求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。1）静力法：1142614()2uPuuuPuuuMFlMMFMMll解：结构在A、C截面出现塑性铰。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解释21令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载FPu同向，大小为δ。2）虚功法1212/242lll外力虚功：内力虚功：12624()uiuuuMWMMMlll由We=Wi，可得：6uPuMFlFPuCABMuMu121l/2l/21212/242lllPueFW一次超静定二个塑性铰22例11-3-2求梁的极限荷载FPu，已知极限弯矩为Mu。2112244uulWqlql内力虚功由We=Wi，可得2144uuqlM所以有216uuMqlquACBMuMuMu24l4l2l解：外力虚功ACBql/2l/2uuuuiMMMMW42三次超静定三个塑性铰23例11-3-3已知梁截面极限弯矩为Mu，求极限荷载。解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。整体平衡0AM211()2RBuuFqlMl12uRBuMFqllBlqAquABl-xMuMuCCARBFx022uuRBMlqlF24RBuFqx1122uuuuuMMqlqxxllqlBC段平衡0yF0QCRBuFFqxquxBCRBFQCFMu2222111222uRBuuuuMFxqxqxqxqxBC段平衡0CM2222222(2)1111()(2)222(2)8uuuuuuuuuuuMqlMMqlqqlMqlqlql2542221240uuuulqlMqM24242224412144161211.31422uuuuuulMlMlMlMlMqll24223.31411.6572uuulMMqll222(2)8uuuuqlMqlM24242224412144161211.31422uuuuuulMlMlMlMlMqll26例11-3-4求图示梁的极限荷载。塑性铰的可能位置：A、B、D。ABCD/3l/3l/3lPF解:AB段极限弯矩为，BC段极限弯矩为Mu。uMABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l271）B、D截面出现塑性铰，由弯矩图可知，只有当时，此破坏形态才可能实现。3uuMMPuuBuDFMM36BDll36()PuuFMll9(3)PuuuuFMMMlABCDFPuMuMu3uuMMABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l28PuuAuDFMM3339222ADllll3922PuuuFMMll3(3)2(3)PuuuuuFMMlMMABCDFPuMuuM1()2uuMMACDFPuMuDuMA2/3l/3l2）A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只有当，即时，此破坏形态才可能实现。''1(),32uuuuuMMMMM即''1(),32uuuuuMMMMM即293）当时，则前面两种破坏形态均可能出现，则：3uuMM为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定真实的破坏形态，即塑性铰的数量及位置。无需考虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，并不影响极限荷载的大小。33(3)(33)229PuuuuuuFMMMMllMl33(3)(33)229PuuuuuuFMMMMllMl30假设:1）连续梁每一跨内等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。因此，连续梁只能在各跨独立形成破坏机构，而不能由相邻两跨联合形成破坏机构。因为各跨在竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现，即负塑性铰只可能出现在两端。二、连续梁的极限荷载主要讨论连续梁破坏机构的形式。31连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。1PF2PFuM1PF2PFuM1PF2PFuMuM1PF2PFuMuM32例11-3-5求连续梁的极限荷载。1(2)2PuulFM16uPuMFl解：1)AB跨ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFPABCFPu1MuMu2/2l332)BC跨2321.2(2)4PuuulFMM234.62PuulFM23.07uPuMFl3.07uPuMFl故ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu23/4l注意B点12PuPuFF34例11-3-6在图（a）所示的连续梁中，每跨为等截面。设AB和BC跨的正极限弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l0.5l0.75l0.75l解：分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。35(b)1.2MuMu)5.05.0(5.02.1)(2.1llMlMMMlFuuBAuBuququMlF214.6注意：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角方向一致。AB跨破坏时(图b)：36(c)1.2Mu1.2MuMuuCBuCuBuqMlMMMlF8.8)(2.12.12uquMlF224.6BC跨破坏时(图c)：CD跨破坏时(图d)：(d)2.4Mu1.2Mu2Mu37uDCuDuCuqMlMMMlF75.06.7)(24.22.123uuqMlF23756.6比较可知，AB跨首先破坏，极限荷载为：uquuqMlFF214.6(d)2.4Mu1.2Mu2Mu321ququuqFFF38§11-4比例加载时判定极限荷载的一般定理一、一般定理1、比例加载1）结构上全部荷载按同一比