函数的基本性质教案

函数的基本性质复习教学目标：函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性教学过程一、单调性1．定义：对于函数)(xfy，对于定义域内的自变量的任意两个值21,xx，当21xx时，都有))()()(()(2121xfxfxfxf或，那么就说函数)(xfy在这个区间上是增（或减）函数。2．证明方法和步骤：（1）设元：设21,xx是给定区间上任意两个值，且21xx；（2）作差：)()(21xfxf；（3）变形：（如因式分解、配方等）；（4）定号：即0)()(0)()(2121xfxfxfxf或；（5）根据定义下结论。3．二次函数的单调性：对函数cbxaxxf2)()0(a，当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调减小，右侧单调增加；当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调增加，右侧单调减小；例：讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性。4．复合函数的单调性：复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例：函数322xxy的单调减区间是（）A.]3,(B.),1[C.]1,(D.),1[5．函数的单调性的应用：判断函数)(xfy的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例1：奇函数)(xf在定义域)1,1(上为减函数，且满足0)1()1(2afaf，求实数a的取值范围。例2：已知)(xf是定义在,0上的增函数，，且1)2(f，)()()(yfxfxyf，（1）求)4(),1(ff；（2）满足)3(2)(xfxf的实数x的范围。二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(xfxf，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(xfxf，那么函数f(x)就叫奇函数。2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(xf为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(f；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断)()(xfxf或)()(xfxf是否恒成立。例：判断函数221)(2xxxf的奇偶性。分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性奇偶性的定义的等价形式：对不易找到函数)(xf与)(xf关系时，常用以下等价形式：0)()()()(xfxfxfxf；0)()()()(xfxfxfxf。当0)(xf时，也可用1)()(xfxf来判断。4．奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。应用：①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。例:作出函数y=x2-2|x|-3的图象。5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例:设)(xf是R上的奇函数，且当)0,(x时，)1()(3xxxf，求当),0(x时)(xf的解析式。两个非零函数)(),(xgxf的定义域都为R，则“)(),(xgxf都是偶函数”是“)()(xgxf为偶函数”的条件。例3：已知：函数)(xf定义在R上，对任意x，y∈R，有)()(yxfyxf)()(2yfxf且0)0(f。(1)求证：1)0(f；(2)求证：)(xf是偶函数；例4：判断下列函数的奇偶性：（1）22log)(3xxxf（2）11)(22xxxf（3）)21131()(xxxf（4）12)(xxf例5：设函数)(xfy的定义域为,00,D，且对任意的Dxx21,都有)()()(2121xfxfxxf。（1）求)1(f的值；（2）判断)(xf的奇偶性，并加以证明。课后专练1.若)(xf的定义域为R，对任意Rba,有)(baf=)()(bfaf,当0a时0)(af且1)2(f(1)判断)(xf在R上的单调性；（2）若2)3()(2xffx，求x的取值范围。2.已知函数582axxy在),1[上递增，那么a的取值范围是________.3.设函数)(xf为R上的增函数，令)2()()(xfxfxF（1）、求证：)(xF在R上为增函数；（2）、若0)()(21xFxF，求证221xx4．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1)＜f(9)＜f(13)B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13)D．f(13)＜f(－1)＜f(9)5．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)6．函数y=x－2x1＋2的值域为_____．7．设yfx是R上的减函数，则3yfx的单调递减区间为.8．函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__．9．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．10．已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数11．已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，则a=__________,b=_________12．已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()A.-26B.-18C.-10D.1013．已知f(x)=21121xx(1)判断f(x)的奇偶性，(2)证明f(x)014．已知函数y=|x-a|在区间,2上是增函数，那么a的取值范围是__________.15．若函数f（x）为偶函数，且当-2≤x≤0时，f（x）=x+1，那么当0＜x≤2时，f（x）=_________.16．若1()2axfxx在区间(2,)上是增函数，则a的取值范围是新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆17.已知5)2(22xaxy在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2aB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2aC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6aD新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆6a18.当]1,0[x时，求函数223)62()(axaxxf的最小值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆19.已知22()444fxxaxaa在区间0,1内有一最大值5，求a的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆20．已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61，又当111[,],()428xfx时，求a的值21．函数)(xf对任意Rx，有0)()(xfxf，)1()1(xfxf，求(2008)f22、函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（）