全等三角形辅助线专题

三角形全等辅助线专题Page1of31、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD，求证：∠B＝2∠C证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD＝∠EAD在△BAD与△EAD中，有：AB＝AE（已知）∠BAD＝∠EAD（已证）AD＝AD（公共边）∴△BAD≌△EAD（SAS）∴∠B＝∠AED（全等三角形对应角相等）∵∠AED＝∠EDC＋∠C（三角形的外角等于不相邻的内角和）∴∠B＝∠EDC＋∠C（等量代换）∵△BAD≌△EAD（已证）∴BD＝ED（全等三角形对应边相等）∵AC＝AB＋BD（已知）AB＝AE（已知）BD＝ED（已证）∴ED＝CE（等量代换）∴∠C＝∠EDC（等边对等角）∵∠B＝∠EDC＋∠C（已证）∴∠B＝2∠C2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＞AC，试判断AB－AC与BD－CD的大小并说明理由。证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE∵AD是∠CAB的角平分线∴∠CAD＝∠EAD在△CAD与△EAD中，有：AC＝AE（已知）∠CAD＝∠EAD（已证）AD＝AD（公共边）∴△CAD≌△EAD（SAS）∴CD＝ED（全等三角形对应边相等）∵AC＝AE（已知）∴AB－AC＝AB－AE＝BE（等量代换）∵BD－CD＝BD－DE＜BE（三角形两边之差少于第三边）∴BD－CD＝AB－AC3、如图，O为∠BAC内一点，且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证：AD＝AE证明方法一：连结BC∵AB＝AC，OB=OC∴∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB（等边对等角）∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC三角形全等辅助线专题Page2of3∴∠ABD＝∠ACE在△ABD与△ACE中，有：∠ABD＝∠ACE（已证）AB＝AC（已知）∠A＝∠A（公共角）∴△ABD≌△ACE（ASA）∴AD＝AE（全等三角形对应边相等）证明方法二：连结AO在△AOB与△AOC中，有：OB＝OC（已知）AB＝AC（已知）AO＝AO（公共边）∴△AOB≌△AOC（SSS）∴∠ABD＝∠ACE（全等三角形对应角相等）在△ABD与△ACE中，有：∠ABD＝∠ACE（已证）AB＝AC（已知）∠BAC＝∠CAB（公共角）∴△ABD≌△ACE（ASA）∴AD＝AE（全等三角形对应边相等）4、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点。请判断中线AD的取值范围。解：延长AD到E，使AD＝ED在△ABD与△ECD中，有：BD＝CD（D是BC的中点）∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）AD＝ED（已知）∴△ABD≌△ECD（SAS）∴CE＝AB＝6（全等三角形对应边相等）在△AEC中，∵AD＝ED∴AE＝2AD∵AC＋CE＞AE＞AC－AE∴8＋6＞2AD＞8－6∴7＞AD＞15、如图，△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝BD，求证：CD⊥AD证明：在AB上截取AE＝AC∵AB＝2AC，∵AE＝AC∴E为AB的中点即DE是等腰△ADB底边上的中线∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一）∴∠AED=90o三角形全等辅助线专题Page3of3在△AED与△ACD中，有：AE＝AC（已知）∠EAD＝∠CAD（AD是∠BAC角平分线）AD＝AD（公共边）∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠AED＝∠ACD=90o（全等三角形对应边相等）即CD⊥AC6、如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC证明：在AB是截取AE＝AC在△ACP与△AEP中，有：AC＝AE（已知）∠EAP＝∠CAP（已知AD是∠BAC角平分线）AP＝AP（公共边）∴△ACP≌△AEP（SAS）∴PC＝PE（全等三角形对应边相等）∵BE＞PB－PE（三角形两边差小于第三边）∴BE＞PB－PC（等量代换）∵BE＝AB－AEAC＝AEBE＞PB－PC∴AB－AC＞PB－PC7、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，BC＞AB，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180o证明：在BC是截取BE＝BA在△ABD与△EBD中，有：AB＝BE（已知）∠ABD＝∠EBD（已知BD平分∠ABC）BD＝BD（公共边）∴△ABD≌△EBD（SAS）∴AD＝ED，∠A＝∠BED（全等三角形对应边相等、对应角相等）∵AD＝CD（已知）∴ED＝CD（等量代换）∴∠DEC＝∠C（等边对等角）∵∠BED＋∠DEC＝∠BEC＝180o言之（B、E、C三点共线）∠C＝∠DEC（已证）∠A＝∠BED（已证）∴∠A＋∠C＝180o（等量代换）