第二章单层的刚度与强度

2单层的刚度与强度层合板由许多单层板组成，所以，单层的刚度与强度是分析层合板刚度与强度的基础。从力学的角度来分析复合材料宏观力学方法细观力学方法本章将讨论单层的刚度与强度，给出宏观力学分析方法的结果。2.1单层的正轴刚度单层的正轴刚度是指单层在正轴（即单层材料的弹性主方向）上所显示的刚度性能。【由于单层厚度与其他尺寸相比较小，一般按平面应力状态进行分析。】对于各向同性材料，表达其刚度的参数是工程弹性常数E、G、ע，三者之间有如下关系：)1(2EG独立的弹性常数只有2个。2.1.1单层的正轴应力－应变关系单层在正轴下的平面应力状态只有σ1、σ2、τ12三个应力分量。本书讨论的复合材料限于在线弹性与小变形情况下，所以材料力学中应变的叠加原理仍适用与复合材料。σ1、σ2、τ12符号：正面正向或负面负向均为正，否则为负。ε1，ε2线应变，伸长为正，缩短为负。γ12：剪应变，与两个坐标方向一致的直角变小为正，变大为负。图2－1单层的正轴及其应力分量)1(1)1(2Lv)2()2(21Tv1)1(11LE......(1)2)2(1TTE21)2(21TE............(2)由τ12引起的应变：12211LTG...............(3)由σ2引起的应变：泊松比纵向עL由纵向应力σ1引起横向应变的耦合系数横向עT上标（1）、（2）代表应力,下标1、2代表方向。因此，由σ1引起的应变：综合式（1）~（3），利用叠加原理，即得单层在正轴方向的应变-应力关系式：2121TLTEE2111TTLEE12121LTG...............(4))1(1)1(2Lv)2(2)2(1Tv单层的正轴工程弹性常数一共有5个。可以证明前4个存在如下关系式：TLTLEE...............(5)因此，应变-应力关系式可写成矩阵形式：122112211110000LTGELEELETLTT系数矩阵各分量可写成：LES111TES122TTES12LTGS166LLES21柔量分量用柔量分量表达的应力—应变关系式：应力-应变关系式：1221662221121112210000QQQQQ模量分量LmEQ11TmEQ22LTGQ66LTEmQ12TLEmQ21其中1)1(TLmSij与Qij之间存在互逆关系1ijijSQ可以证明，模量分量或柔量分量存在如下的对称关系式：Q21=Q12,S21=S12因此,表述单层的正轴刚度可以用工程弹性常数（EL、ET、עL、GLT）、模量分量、柔量分量中的任意一组。实验法测EL、ET、GLT、עL，עT,עT可利用(5)式计算。实际复合材料工程中，经常碰到正方对称单层的情况，如1：1经纬交织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况，此时，它的刚度参数存在如下关系：Q11=Q22,S11=S22，EL=ET这种材料的工程弹性常数测3个就行了。单层为正交各向异性的材料时，工程弹性常数的限制条件：可利用上式限制条件来判断材料的实验数据或正交各相异性的材料模型是否正确。LTTTLLLTTLTLTLEEvEEvGEEEEvv220或；、、2.1.2各种复合材料的单层正轴刚度参数例题：证明：12211221SSQQEETLTL，，解：根据线弹性假设，单层在受到应力而引起应变时，单位体积所储存的弹性应变能1212221121W利用应力应变关系，212662222212112211121+21++21+21=γεεεεQQQQQW）（将上式分别对ε1与ε2求导，得，221121111)(21QQQw222121122)(21QQQw1221γεε、、微小地变为而当变形状态由12122211+++γγεεεεddd、、则单位体积应变能增量为：12122211++=γτεσεσddddw由于w是ε1、ε2、γ12的单值连续函数，所以这一增量可写成全微分形式：12122211dwdwdwdw比较上面两个dw式，12122211)(21QQQ222121122)(21QQQ将它们与应力—应变关系式（2－10）比较，212112122112)(21)(21QQQQQQTLTLEEvvSQQS122121122.2单层的偏轴刚度2.2.1应力转化与应变转化公式单层的偏轴刚度参数由单层在偏轴下的应力－应变关系所确定。正轴下的应力－应变关系与偏轴下的应力－应变关系可以相互转化。根据材料力学中推导应力转化公式的方法,推得由偏轴应力求正轴应力(称为应力正转换)的公式，如下：式中m=cosθn=sinθ（θ为辅助角，偏轴—正轴，逆时针为正，顺时针为负。）上述转换公式（1）可经适当变化改为由正轴应力求偏轴应力（称为应力负转换）的公式：σ1σ2τ12=m2n22mnn2m2-2mn-mnmnm2-n2σxσyτxy=m2n2－2mnn2m22mnmn－mnm2－n2σxσyτxyσ1σ2τ12同样，由偏轴应变求正轴应变（应变正转换）的公式（2-24）。图2－3铺层角与偏轴应力分量=ε1ε2γ12εxεyγxym2n2mnn2m2－mn－2mn2mnm2－n2由正轴应变求偏轴应变（称为应变负转换）的公式。2.2.2单层的偏轴应力—应变关系=m2n2－2mnn2m22mnmn－mnm2－n2σxσyτxyσ1σ2τ12εxεyγxy=m2n2－mnn2m2mn2mn－2mnm2－n2ε1ε2γ12εxεyγxy=m2n2_2mnn2m22mnmn－mnm2－n2Q11Q120Q21Q22000Q66ε1ε2γ12=m2n2_2mnn2m22mnmn－mnm2－n2Q11Q120Q21Q22000Q66εxεyγxym2n2mnn2m2－mn－2mn2mnm2－n2简写成：￣￣￣￣￣￣￣￣￣Q11Q12Q16Q21Q22Q26Q61Q62Q66σxσyτxy=εxεyγxy￣Qij（i，j=1，2，6）称为偏轴模量分量。￣Qij=￣Qji这里，即偏轴模量仍具有对称性。同理￣￣￣￣￣￣￣￣￣S11S12S16S21S22S26S61S62S66εxεyγxy=σxσyτxy￣Sij（i，j=1，2，6）称为偏轴柔量分量，￣￣Sij=Sji偏轴柔量分量与偏轴模量分量之间存在互逆关系。￣￣[Qij]=[Sij]-1见书中公式（2-32）~（2-34）2.2.3单层的偏轴模量采用倍角函数的三角恒等式,将偏轴模量公式简单化：￣￣￣￣￣￣Q11Q22Q12Q66Q16Q26=U1（Q）cos2θcos4θU1（Q）－cos2θcos4θU4（Q）0－cos4θU5（Q）0－cos4θ01/2sin2θsin4θ01/2sin2θ－sin4θ1U2（Q）U3（Q）其中，U1（Q），U2（Q），U3（Q），U4（Q），U5（Q）称为单层正轴模量的线性组合，也为材料常数，表达式见（2-38），具体值可查表2-4。1、偏轴模量分量的常数项例如：Q11=U1（Q）+U2（Q）cos2θ+U3（Q）cos4θ=++￣Q11只有增加U1（Q）才能有效增加Q11。在各向同性材料的情况下，Q11=U1(Q),因此常数项又具有相当各向同性材料模量。据此可以将常数项：U1（Q）称为复合材料的各向同性拉伸模量；U5（Q）称为复合材料的各向同性剪切模量。因此，为提高复合材料的刚度，需提高U1（Q）与U5（Q）的值。2、偏轴模量分量的周期项幅值U2（Q），U3（Q）是模量分量中周期项的幅值，U2（Q）大于U3（Q）（表2-4），所以U2（Q）影响复合材料各向异性程度大些。3、偏轴模量分量之间的关系偏轴模量6个分量正轴模量4个分量4、偏轴模量分量的估算值（P21参见18）为方便起见，用近视公式来估算偏轴模量分量（公式2-38中第一项），即：U1（Q）=3/8Q11U2（Q）=1/2Q11U3（Q）=U4（Q）=U5（Q）=1/8Q11)(22)(4)(1122211QQUUQQQ)(4)(51266QQUUQQ2.2.4单层的偏轴柔量同样，通过三角恒等式,将偏轴柔量公式简化为：￣￣￣￣￣￣S11S22S12S66S16S26=U1（S）cos2θcos4θU1（S）－cos2θcos4θU4（S）0－cos4θU5（S）0－cos4θ0sin2θ2sin4θ0sin2θ－2sin4θ1U2（S）U3（S）其中，U1（S），U2（S），U3（S），U4（S），U5（S）称为单层正轴柔量的线性组合，也为材料常数，见表2-5。2.2.5单层的偏轴工程弹性常数单层的偏轴工程弹性常数是单层在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。1、单层的偏轴工程弹性常数定义可分别设：①σx≠0，σy=τxy=0；②σy≠0，σx=τxy=0；③τxy≠0，σx=σy=0。三种情况来定义单层的偏轴工程弹性常数。第一种情况时，由偏轴应变－应力关系式（2-30），可得：xxxyxxyxxxSSS61)(21)(11)(所以，单层的偏轴工程弹性常数与柔量分量之间的关系：Sxxxxx11)(1E轴向拉压弹性模量SSxxxyx1121)()(v泊松耦合系数SSxxxxyxxy1161)()(,拉剪耦合系数反过来，可以写出以偏轴工程弹性常数表示偏轴柔量分量的关系式。类似地可求得第二种、第三种情况，书中公式（2－54）、（2－55）。由于柔量分量的对称性Sij=Sji,所以偏轴工程弹性常数具有如下关系式：xyyxyyyxyxyxxyxxxyyxyxGEGEEE,,,,2、偏轴工程弹性常数的转换关系由正轴工程弹性常数可求出偏轴工程弹性常数的转换关系：公式（2－58）。注意：单层的各个偏轴工程弹性常数的最大值与最小值并不一定发生在材料主方向上，要具体材料具体分析。极值分析是作出这种分析的一种重要方法。根据偏轴工程弹性常数随θ的变化曲线，可以简单地判断复合材料在单轴应力或纯剪应力时的变形形状。如图2－8。3、偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系偏轴工程弹性常数是单轴应力或纯剪应力下定义的一些系数。偏轴模量是平面应力状态下应力－应变关系中的一些系数。可以将单轴应力或纯剪应力看作平面应力状态的特殊情况，得到偏轴工程弹性常数与偏轴模量的关系式。例2.4例2.61.最大应力失效准则2.3单层的强度2.3.1单层的基本强度单层的4个工程弹性常数（EL，ET，VL，GLT）和5个基本强度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般统称为复合材料的9个工程常数。2.3.2单层的失效准则单层的失效准则是以判别单层在偏轴向应力作用或平面应力状态下是否失效的准则。σ1＝Xt（压缩时|σ1|＝Xc）σ2＝Yt（压缩时|σ2|＝Yc）|τ12|＝S2.最大应变失效准则LTsTcycTtytLcxcLtxtGSEYEYEXEX，，当单层在平面应力的任何应力状态下，单层正轴向的任何一个应力分量达到极限应力时，单层就失效。ε1＝εxt（|ε1|＝εxc）ε2＝εYt（|ε2|＝εYc）|γ12|＝γs同样，当单层在平面应力的任何应力状态下,单层正轴向的任何一个应变分量到达极限应变时，单层失效。根据材料线弹性假设，失效准则中的极限应变与基本强度的对应关系：根据上面的公式（2-80），可将最大应变失效准则改写成用应力和基本强度表达的形式：SYYXXtTtTtLtL||)()(1212122121