有交互作用的正交设计

有交互作用的正交设计交互作用：一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交互作用，记为A×B或AB。磷肥氮肥P1＝0P2＝4N1＝0400450N2＝6430560例1：在大豆试验田内施用氮肥和磷肥，亩产量如下表：交互作用：（560-400）－(450-400)－(430－400)=160－50－30＝80（斤）A1A2B1B2a.无交互作用A1A2B1B2b.有（正向）交互作用A1A2B1B2c.有（反向）交互作用因子A与B的交互作用示意图因子间的交互作用随着因子个数的增加而增加。如四个因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类：二级交互作用有6个：AB，AC，AD，BC，BD，CD三级交互作用有4个：ABC，ABD，ACD，BCD四级交互作用1个：ABCD共有11个，比因子个数还多。实际经验表明，多数交互作用是不存在的或很小以至可以忽略不计，实际中主要考虑部分二级交互作用，具体考察哪些二级交互作用还要依赖专业知识来决定。例2：某厂一种零件镀锌前需要酸洗除锈。为提高效率（缩短酸洗时间）采用正交试验寻求最佳酸洗液配方。考虑交互作用A*B、B*C、A*C。酸洗因素水平表因素水平AH2SO4（克/升）BCH4N2S（克/升）C洗剂液（克/升）1300127022004100L8(27)正交表的交互作用表列号1234567（1）3（2）21（3）567（4）4761（5）74523（6）654321表头设计列号1234567因素ABA×BCA×CB×C空因素试验号1A2B3A×B4C5A×C6B×C试验指标酸洗时间Y（分）11（300）1（12）11（70）113021（300）1（12）12（100）223231（300）2（4）21（70）122041（300）2（4）22（100）212552（200）1（12）21（70）213262（200）1（12）22（100）122572（200）2（4）11（70）221782（200）2（4）12（100）1120Kj1107119999995107Kj2948210210210694Kj1（平均）26.7529.7524.7524.7523.7526.75Kj2（平均）23.5020.5025.5025.5026.5023.50Rj3.259.250.750.752.753.25主次B、B×C、A、A×C、A×B、CC1C2A1(Y1+Y3)/2=25(Y2+Y4)/2=28.5A2(Y5+Y7)/2=24.5(Y6+Y8)/2=22.5试验结果直观分析因素主次：B、B×C、A、A×C、A×B、CA*C水平搭配表从表中可知A2C2搭配最优最优组合：A2B2C1如何确定B*C、A*B最优搭配？交互作用正交试验最佳水平组合选择：（1）对显著因素，最佳水平可通过比较各水平下的指标数据均值或数据和得到；（2）对显著交互作用，先计算两因素水平所有水平搭配下数据均值，再通过比较得出哪种水平组合为好；（3）不显著的因素，其水平可任选，亦可按成本较低原则选取。水平选取总结■例3某产品的产量取决于3个因素A、B、C，每个因素都有两个水平，具体数值如下表所示。每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。水平数相同的有交互作用的正交设计ABC1260801.21.520%30%因素水平L8(27)表头设计1A2B3A×B4C5A×C6B×C7产量111111165211122273312211272412222175521212170621221274722112260822121171K1285282269267282281K2275278291293278279k1142.5141.0134.5133.5141.0140.5k2137.5139.5145.5146.5139.0139.5极差52111321最优方案A1B12水平C21水平1水平等水平、有交互作用的正交设计的分析步骤：交互作用应该占有相应的列——交互作用列交互作用列是不能随意安排②表头设计①选表应将交互作用看成因素按6因素2水平选表：L8（27）③明确试验方案、进行试验、得到试验结果④计算极差、确定因素主次注意：排因素主次顺序时，应该包括交互作用⑤最优方案的确定如果不考虑因素间的交互作用，最优方案：A1B1C2交互作用A×B比因素A、B对试验指标的影响更大考虑交互作用，最优方案：A1B2C2说明：表头设计中的“混杂”现象（一列安排多个因素或交互作用）高级交互作用，如A×B×C，一般不考虑r水平两因素间的交互作用要占r－1列，当r＞2时，不宜用直观分析法即使不考虑交互作用，最好仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设计正交表的选用原则基本原则：要考察的因素及交互作用的自由度总和不大于正交表的总自由度。即：f总≥fA＋fB＋fC＋…＋fA×B＋fB×C＋fA×C＋…注：（1）正交表总自由度f总＝试验次数－1；（2）每因素自由度＝各因素水平数－1；（如：fA＝A的水平数－1）交互作用自由度，如fA×B＝fA×fB•混杂现象：在进行表头设计时，若一列上出现两个因子，或两个交互作用，或一个因子与一个交互作用时，称为混杂现象，简称“混杂”。•表头设计的一个重要原则：表头设计时要尽量避免混杂现象的出现。这是因为，当混杂现象所在列显著时，很难识别是哪个因子（或交互作用）是显著的。避免混杂现象例3.6给出下列试验的表头设计：（1）A、B、C、D为二水平因子，且要考察交互作用A×B、A×C；（2）A、B、C、D为二水平因子，且要考察交互作用A×B、C×D。解（1）由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表，又因子与交互作用的自由度之和为：fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，所以选L8(27)，表头设计如下：表头设计ABA×BCA×CD列号1234567（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正交表，又因子与交互作用的自由度之和为6，故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，但L8(27)无法安排这四个因子与两个交互作用，因为不管四个因子放在哪四列上，两个交互作用或一个因子与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂，譬如：表头设计ABA×BC×DCD列号1234567在正交表上出现这一现象的原因是正交表的构造引起的。•对等水平的完全正交表来讲)(pnqL，如果kqn，则全部列被分为k组，各组的列数分别为110,,,kqqq。如L8(27)的列被分成三个组：第一组：第1列第二组：第2、3两列第三组：第4、5、6、7四列•正交表上有交互作用的两列如果在不同组时，则其交互作用列必在组别高的组中，当有交互作用的两列在同一组时，交互作用必在低组别的组中。譬如：-若A置于第1列，B置于第2列，则A×B为第3列；-若A置于第1列，B置于第4列，则A×B为第5列；-若A置于第2列，B置于第3列，则A×B为第1列；-若A置于第4列，B置于第7列，则A×B为第3列。•当出现混杂现象时，只要选择较大的正交表就可以避免了，譬如选用L16(215)，表头设计如下：表头设计ABA×BCDC×D列号123456789101112131415•在表上有多个空白列时，为避免可能存在的交互作用，可以首先将因子放在各组的第一列（也称为基本列）。如：-)2(78L的基本列是1，2，4列，-)2(1516L的基本列是1，2，4，8列。•当“所考察的因子与交互作用自由度之和=n－1”时，表的各列都被排满了，这便成了饱和设计，那么此时的处理办法有：进行重复试验后进行方差分析；如上改用较大的正交表，补充做一些试验；将平方和较小的列看作误差列；作为饱和设计进行分析。