复变函数与积分变换(第三章)

§3.1复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B.对曲线C而言，有两个可能方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C.定义3.1设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点：A=z0,z1,…,zn-1,zn=B,将曲线C划分成n个小弧段.在每个小弧段(k=1,2,…,n)上任取一点k,并作和式1kkzz1().nnkkkSfz其中.记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点k的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作1kkkzzz01()dlim(),nkkkCfzzfzf(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.若C为闭曲线，则函数f(z)沿曲线C的积分记作()dCfzz2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则()d()d.CCfzzfzz性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则(()())d()d()d,CCCfzgzzfzzgzz其中,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则12()d()d()d()d.nCCCCfzzfzzfzzfzz性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对,满足,曲线C的长度为L,则zC()fzM()d()d,CCfzzfzsML其中,为曲线C的弧微分.22ddddszxy记sk为zk-1与zk之间的弧长111()()().nnnkkkkkkkkkfzfzfs0两端取极限()d()d.CCfzzfzs11(),nnkkkkkfsMsML()d()d.CCfzzfzsML3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且()ddddd.CCCfzzuxvyivxvy证明：11,,,,kkkkkkkkkkkkzxiyixxxyyy11111()()()().kkkkkkkkkkkkkzzzxiyxiyxxiyyxiy1111()((,)(,))()((,)(,))((,)(,)).nnkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkfzuivxiyuxvyivxuy111()((,)(,))((,)(,)).nnkkkkkkkkkknkkkkkkkfzuxvyivxuy已知f(z)沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且()ddddd.CCCfzzuxvyivxuy参数方程法设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),zztxtiytatb参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点.设f(z)沿曲线C连续，则(())((),())((),())()().fztuxtytivxtytutivt()ddddd(()()()())d(()()()())d,CCCbbaafzzuxvyivxuyutxtvtyttiutytvtxttRe((())())()()()(),Im((())())()()()().fztztutxtvtytfztztutytvtxt()d(())()d.baCfzzfztztt例3.1分别沿下列路径计算积分和2dCzzIm()dCzz(1)C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2)C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.解：(1)C的参数方程为：z=(1+i)t,t从0到1.112220033310d((1))d((1))(1)((1))d(1)(1).33Czzititiitttii(2)这两直线段分别记为C1和C2,C1的参数方程为：y=0,x从0到1;C2的参数方程为：x=1,y从0到1.112220033121003dd(1)d(1)33122(1)1.3333Czzxxiyiyxyiyiyiiii1100Im()d0dd(1+).2Cizzxyiy例3.2计算积分,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界.dCzzz解：积分路径可分为四段：C1:z=t(-2≤t≤-1);C2:z=从到0;C3:z=t(1≤t≤2);C4:z=从0到.,ie2,ie1234102π2π10ddddde2ededd2de2e24411.333CCCCCiiiiiizzzzzzzzzzzzzzztttitiett例3.3计算积分,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数.101d()nCzzz解：曲线C的方程为：0(02π)izzre2π11(1)002π2π00de()eded.einninCinninnzirIzzriirr当n=0时2π0d2πIii当n≠0时，2π0(cossin)d0niIninr0102π,0;d0,0.()nzzrinznzz§3.2柯西-古萨定理(Cauchy-Goursat)及其推广1.柯西-古萨定理假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f'(z)在D内连续,u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线.()ddddd.CCCfzzuxvyivxuy记G为C所围区域，由格林(Green)公式有dddd,GCvuuxvyxyxy由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u、v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即,.uvvuxyxy因此dddd0.CCuxvyvxuy从而()d0.Cfzz定理3.2（柯西-古萨定理）若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即()d0.Cfzz对于任意一条闭曲线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。推论3.1设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,若函数f(z)在上解析，则DDC()d0.Cfzz推论3.2设函数f(z)在单连通域D解析,则f(z)在D内积分与路径无关.即积分不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C,而只与z0、z1的位置有关.()dCfzz证明：设C1和C2为D内连接z0与z1的任意两条曲线.1C2C显然C1和连接成D内一条闭曲线C.2C由柯西-古萨定理12()d()d()d0.CCCfzzfzzfzz12()d()d.CCfzzfzz2.原函数函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为1212()d()d()d.zzCCfzzfzzfzz固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数0()()d.zzFzf并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F'(z)=f(z).证明：若D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点(0)zzz00()()()d()d.zzzzzFzzFzff()()()d.zzzFzzFzf积分与路径无关()d()d().zzzzzzfzfzfzzf(z)是与积分变量无关的值()()1()()d()1(()())d.zzzzzzFzzFzfzffzzzffzz又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续.所以对于任给的,必存在,使得当(且落在圆B内)，即当时，总有00zz()()ffz()()1()(()())d1()()d1.zzzzzzFzzFzfzffzzzffzzzz也就是()()Fzfz()()().FzzFzfzz0()()lim()zFzzFzfzz即定义3.2若在区域D内，(z)的导数等于f(z)，则称(z)为f(z)在D内的原函数.变上限函数为f(z)的一个原函数.那么函数f(z)的全体原函数可以表示为,其中C为任意常数.0()()dzzFzf()()zFzC定理3.4若函数f(z)在单连通域D内处处解析，(z)为f(z)的一个原函数，则,其中z0、z1为D内的点.110010()d()()()zzzzfzzzzz证明：0()()dzzFzf为f(z)的一个原函数.0()()d().zzFzfzC当z=z0时，根据柯西-古萨定理可知,00()d()()zzfzz例3.4求积分的值.π20sin2dizz解：因为sin2z在复平面上解析，所以积分与路径无关.ππ2200ππππ11sin2d(cosπcos0)cos22211ee.12242iizzizee例3.5求积分的值.0(1)edizzz解：因为(z-1)e-z在复平面上解析，所以积分与路径无关.000(1)ededediiizzzzzzzz上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法.0000(1)edededesin1cos1.iiiizzzzizzzzziei例3.6设D为直线和直线所围成的区域.求积分的值.331010,21010ztti2554,55ztti23d2izzz解：尽管在复平面上存在两个奇点1和-2，但是单连通域D包含点3和i，又不含奇点1和-2，因此在区域D内解析.212zz233311ddd2312iiizzzzzzz函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分解为单值的解析分支，ln(z-1)的各分支导数都为,ln(z+2)的各个分支的导数都为11z12z23311dln(1)ln(2)231153π1lnarctan3224215π1lnarctan.62432iizzzzziii3.复合闭路定理设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、…、Cn,其中C1、C2、…、Cn互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D,D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作012nCCCCC定理3.5若f(z)在复闭路及其所围成的多连通区域内解析，则,也就