泛函分析习题解答

1第一章练习题1．记([,])Cab是闭区间[,]ab上连续函数全体构成的集合,在([,])Cab上定义距离如下:(,)|()()|,,([,])bafgfxgxdxfgCab，（1）([,])Cab按是否完备?（2）(([,]),)Cab的完备化空间是什么?答：(1)不完备,例如对于[,][0,2]ab以及1,2,n,定义,01,():1,12.nnxxfxx则{()}([0,2])nfxC在本题所定义的距离的意义下是Cauchy列,因为101100(,)|()()|110,(,).11nmnmnmfffxfxdxxdxxdxmnnm另一方面,点列{()}nfx并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C中的某个元.事实上,在几乎处处收敛的意义下,我们有0,[0,1)()()1,[1,2].nxfxgxx因此,根据Lebesgue有界收敛定理,可以得到101100(,)|()()|1|0|0.1nnnnfgfxgxdxxdxxdxn但()([0,2])gxC.(2)([,])Cab的完备化空间是1([,])Lab.因为(i)在距离的意义下,([,])Cab是1([,])Lab的稠密子集.事实上,任意取定一个1()([,])fxLab,需要证明:对于任意的0,存在()[,]gxCab,使得[,](,)|()()|abfgfxgxdx.事实上,首先根据积分的绝对连续性,存在0,使得当[,]Eab,只要mE,就有2|()|3Efxdx.因为()fx(Lebesque)可积,故几乎处处有限,即10NNmEI,其中{[,]||()|}NExabfxN.由此可以得到lim()0NNmE(因为{}NE是渐缩集列并且[,]ab的测度有限),故存在某个自然数N,使得NmE且|()|3NEfxdx,因此有|()|fxN,[,]\NxabE.引入一个新函数定义为(),[,]\():0,,NNfxxabEfxE%显然对于[,]xab恒有|()|fxN%.由Lusin定理,存在连续函数()(,)gxC和闭集[,]Fab,使得([,]\)min{,/3}mabFN且|()|gxN,进而()()gxfx%,xF.则()gx限制在[,]ab即为所求,因为:[,](,)|()()|abfgfxgxdx([,]\)|()()|abFFfxgxdx[,]\|()()||()()|abFFfxgxdxfxfxdx%[,]\\(|()|)|()()||()()|NNabFFEFEfxNdxfxfxdxfxfxdx%%[,]\|()|([,]\)abFfxdxNmabF\|()|0NNFEFEfxdxdx333.3(ii)1(([,]),)Lab是完备的空间.2．设(,)X是距离空间，A是X的子集，对任意的xX，记(,)inf(,)yAxAxy，则（1）(,)xA是x的连续函数.（2）若{}nx是X中的点列,使(,)0nxA,{}nx是否为Cauchy列?为什么?证：(1)任意取定12,xxX,对于任意的yX根据三角不等式,有1122(,)(,)(,)xyxxxy,2211(,)(,)(,)xyxxxy.对两端关于yA取下确界,可以得到1122inf(,)(,)inf(,)yAyAxyxxxy,2211inf(,)(,)inf(,)yAyAxyxxxy.即1122(,)(,)(,)xAxxxA,2211(,)(,)(,)xAxxxA.由此可得1212|(,)(,)|(,)xAxAxx.由此容易证明()fx(,)xA是X上的连续函数,实际上,(,)xA还满足Lipschitz常数等于1的Lipschitz条件.(2)答:未必是Cauchy列.例如取XR,其中的距离是Euclid距离.对于{1,1}A,对于1,2,nL,定义点列为1(1).nnxn对于点列{}nx,不难验证,1(,)0nxAn;但显然{}nx不是Cauchy列.这里的原因就在于(,)xA不是点到点之间的距离,而是点到集合的距离,当这个集合A含有不止一个点时,(,)xA不再具有点点之间距离的性质.3．E是nR中的Lebesgue可测集合,试证()LE按距离4(,)esssup|()()|xEfgfxgx是不可分空间.证法一：记为方便起见,设[,]Eab.定义[,]1,[,],()()0,(,].axafxxxb显然()fx有界,可测,因此必属于([,])Lab.记{()|(,]}Afxab.则([,])ALab.既然对于不同的12,[,]ab,1f与2f不同的部分是正测度集,容易看出A的势是.进而有(不妨设12)1212121212[,][,]\0[,][,]\0[,][,][,][,]\0(,][,][,]\0(,)infsup|()()|infsup|()()|infsup|()()|infsup()1.EabxabEmEEabxabEmEaaEabxabEmEEabxabEmEfffxfxfxfxxxx我们用反证法证明所需的结论.设([,])Lab是可分的，则其必有可数的稠密子集123{,,,,,}iggggLL,因此至少有一个ig属于两个不同的1(,1/3)Sf和2(,1/3)Sf.而由三角不等式,我们有12121(,)(,)(,)112.333iifffggf这是一个矛盾.因此([,])Lab不可能是可分的.证法二：既然E是正测度集,存在0R使得((0,))0mSRE.不难验证,存在一列正数1{}iiR满足:120iRRRRLL;且1([(0,)\(0,)])0iimESRSR.5对于每一个12(,,,,)iLL,其中0i或1,定义1(),[(0,)\(0,)]iiifxxESRSR,1,2,iL.显然()fx有界,可测,因此必属于()LE.记{()|{0,1}}AfxN,其中{0,1}N表示具有上述性质的的全体.则()ALE.既然对于不同的,{0,1}N,(不妨设1(,,,)iLL,1(,,,)iLL且对于某个i,0i1i)f与f不同的部分至少是正测度集1[(0,)\(0,)]iiESRSR,容易看出A的势与{0,1}N的势都是连续统的势.进而有11\0((0,)\(0,))\0((0,)\(0,))\01(,)infsup|()()|infsup|()()|infsup||1.iiiiFExEFmFFExESRSRFmFiiFExESRSRFmFfffxfxfxfx我们用反证法证明所需的结论.设()LE是可分的，则其必有可数的稠密子集123{,,,,,}iggggLL,因此至少有一个jg属于两个不同的(,1/3)Sf和(,1/3)Sf.而由三角不等式,我们有1(,)(,)(,)11.33jjfffggf这是一个矛盾.因此()LE不可能是可分的.补充题．证明[,]Lab是不可分空间.证：记[,]()atKxatb,其中[,]1,,():0,.ataxtxtxb显然[,]KLab,且只要12,[,]ttab,12tt,则有12[,][,],atatK,且因为(不妨设12tt)12(,]tt的测度为正,故61212[,][,][,][,][,]||||sup|()()|atatatatLabessxx1212(,](,]sup|()|1ttxttx.因此,由(,)ab是不可数集,而K的基数与(,)ab的基数相同,故也是不可数集,且K中任何两个不同元的距离均为1.如果[,]Lab是可分的,因此有一个可数的稠密子集合{()|1,2,}kAfxkL,且11(,)3kkSfK.但这是荒谬的,因为上式左端只有可数多个开球,右端有不可数多个元,所以至少有K中的两个不同的12[,][,],atat属于同一个开球01(,)3kSf,由此得到矛盾:121002[,][,][,][,][,][,][,]1||||||||||||112.333atatLabatkkatLabLabff此矛盾表明[,]Lab不可能是可分的.4．设([,])kCab是闭区间[,]ab上具有k阶连续导数的函数全体,定义:()()[,]0(,)max|()()|,,([,])kiikxabifgfxgxfgCab试证:（1）([,])kCab是完备的距离空间;（2）若定义||||(,0)ff,则(([,]),||||)kCab是Banach空间.证：(1)这里只证明该距离是完备的.设1{()}nnfx是([,])kCab(0k时,0([,])Cab就理解为[,]Cab)中该距离意义下的Cauchy列.因此当,mn时，有()()[,]0(,)max|()()|0kiimnmnxabifffxfx.由此容易知道对于每一个0,1,,ikL,()1{()}innfx是0([,])Cab中的Cauchy列.根据70([,])Cab的完备性,知()1{()}innfx收敛到0([,])Cab中的某个元,记其为()ifx,则0()([,])ifxCab,且()()()iinfxfx，,0,1,,nin,其中“”表示是一致收敛.如果我们记0()()fxfx,利用数学分析中函数序列一致收敛的分析性质,可以得到12()()(),()(),,()().kkfxfxfxfxfxfx(*)例如,因为1()()nfxfx,故1()()xxnaaftdtftdt,即1()()()xnnafxfaftdt,又0()()nfxfx及0()()nfafa,故001()()()xafxfaftdt.求导即可得到01()()fxfx,即1()()fxfx.归纳地可得(*).因此0()()fxfx([,])kCab且()[,]0(,)max|()()|kiinnxabifffxfx()()[,]0max|()()|0kiinxabifxfx.即([,])kCab是完备的距离空间.（2）证略.7．证明有限维线性赋范空间是完备的.证：记该有限维(实)线性赋范空间为E,是n维的，范数记为||||x,需要证明(,||||)E是完备8的.记E中的一组基为:12,,,nvvvL.因此对于任意的xE,存在唯一一组实数12,,,nxxxL,使得1122nnxxxxvvvL,反之亦然.(i)我们断言存在一个与x无关的常数0K,使得||||||ixKx,1,2,,in.(*)首先定义一个映射:nf¡¡为:对于任意的12(,,,)nxxxLn¡,121122(,,,):||||||||nnnfxxxxxxxvvvLL.则对于任意的,xyE(1122nnyyyyvvvL)有1122||||(,,,)nnxyfxyxyxy111||||||||||||nnnxyxyvvL2222111()()||