层合板的刚度与强度

3层合板的刚度与强度层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单层刚度与强度的基础上。假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的单层构成的一种连续性材料，并假设各单层之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层合理论称为经典层合理论。本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚度与强度。3.1对称层合板的面内刚度所谓对称层合板，是指层合板的铺层方向相对于层合板的几何中面是镜面对称的，也就是说，从中面向上或向下观察各铺层方向，铺设顺序是相同的，单向层合板可看作是对称层合板的一种特例。3.1.1层合板的标记层合板各铺层的方向随设计者的需要可以任意铺设。为了分析各种铺设顺序层合板的力学性能，应简明地给出表征层合板铺层或铺层组铺设顺序的符号，即层合板的标记。偶数层：对称铺层只写出一半，括号外加写下标“s”表示对称。对于非对称层合板，必须在标记中表明全部铺层组的铺设顺序，并标明下角标T。例如：【05/902/45/90/03】T这种层合板标记，仅表明由底面向上至顶面的铺设顺序，而不能相反。当然，即使为对称层合板，有时也可采用标出全部铺层组的标记，例如前面给出的对称层合板可写成：【05/902/45/-453/-453/45/902/05】T例如：【05/902/45/-453】s这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组包含五层相对参考轴为0˚方向的铺层，接着向上是两层90˚方向铺层，再向上是一层45˚方向铺层，最后至中面的三层是－45˚方向的铺层。下角标s，表示对称层合板。奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。例如：【0/90】s即【0/90/0】对于这样的层合板，当作用力的合力作用线位于层合板的几何中面内时（如图），由于层合板刚度的中面对称性，层合板将引起面内变形（厚度方向的变形可忽略），不引起弯曲变形。)()(zQzQijij或【05/902/45/-456/45/902/05】T另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用T的标记法。例如：【05/903/05】T3.1.2面内力——面内应变关系由于本章讨论的是对称层合板，所以各单层铺层角：θ（z）=θ（-z）各单层模量：在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移，即u(z)=u0v(z)=v0这在层合板的厚度与长度、宽度相比为很小时是合理的。所以沿层合板厚度上各点的应变是一样的。εx(z)=εx˚εy(z)=εy˚γxy(z)=γxy˚但因为层合板各个铺层的Qij可以不同，所以应力未必是一样的。2/2/)(hhkxxdzN2/2/)(hhkyydzN2/2/)(hhkxyxydzN面内力的符号仍规定正面正向和负面负向为正，否则为负。与应力符号规则一致。为了确定层合板的面内刚度，必须建立层合板的面内力与面内应变的关系。所谓层合板的面内力，就是层合板各铺层应力的合力。（其单位为Pa·m，表示厚度为h的层合板横截面单位宽度的力。）为了建立面内力——面内应变关系式，只需要将各铺层的应力—应变关系式代入上式中，【利用（σ）＝（Qij）（ε）】dzQQQxykykxhhkxN][)(16)(122/2/)(11dzQQQxykykxhhk][0)(160)(1202/2/)(11由于中面应变与Z无关，所以dzQdzQdzQhhkxyhhkyhhkxxN2/2/)(1602/2/)(1202/2/)(110利用同样方法，可导出Ny、Nxy，简写为066062061026022021016012011xyyxxyxyyxyxyyxxAAANAAANAAAN（3－1）式中2/2/)(hhkijijdzQA（i,j=1,2,6）称为层合板的面内刚度系数。面内刚度系数也象模量分量一样，具有对称性。即Aij=Aji为了使本章讨论对称层合板的刚度与以前讨论单向层合板的刚度相关联。因此，将面内力与面内刚度系数进行正则化，即设hNNxxhNNyyhNNxyxyhAAijijNx*、Ny*、Nxy*称为层合板的正则化面内力，单位是Pa或N/m2，它们实际上表示了层合板的平均应力，又称层合板应力。Aij*称为层合板的正则化面内刚度系数，单位是Pa或N/m2，与模量分量的量纲一样。016012011xyyxxAAAN026022021xyyxyAAAN066062061xyyxxyAAAN（3－2）上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式，实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应变的关系式。我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内应变与面内力的关系式。NaNaNaxyyxx1612110NaNaNaxyyxy2622210NaNaNaxyyxxy6662610（3－3）所以式中aij称为层合板面内柔度系数。正则化形式：NaNaNaxyyxx1612110NaNaNaxyyxy2622210NaNaNaxyyxxy6662610（3－4）很明显，aij*=aijh，称为对称层合板的正则化面内柔度系数。aij*的意义是，当对称层合板为单向层合板时，saijij即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。（3－1）～（3－4）均可写成矩阵形式。（略）3.1.3对称层合板的面内工程弹性常数类似于定义单层的工程弹性常数，利用单轴层合板应力或纯剪层合板应力来定义对称层合板的面内工程弹性常数，可以得到面内拉压弹性模量例：Nx*≠0,Ny*=Nxy*=0,利用公式（3－4），得aNExxx11001aaxyx11210aaxxyxxy11610,同理，aNEyyy22001aayxy22120aayxyyxy22620,面内剪切弹性模量aGxy6601aaxyxxyx66610,aaxyyxyy66620,面内泊松耦合系数aax11210aay22120拉剪耦合系数aaxxy11610,aayxy22620,剪拉耦合系数aaxyx66160,aaxyy66260,3.1.4面内刚度系数的计算由于面内刚度系数与构成对称层合板的各铺层模量有简单的积分关系式，而且各铺层可以有不同的偏轴模量，所以正则化面内刚度系数可改写成求和的形式进行计算。利用偏轴模量的计算公式及面内刚度系数的定义2/2/)(hhkijijdzQA则可得正则化面内刚度系数的计算式，见书中(3-24)3.1.5几种典型对称层合板的面内刚度层合结构的复合材料，利用铺层的各单层材料和方向的随意性可以得到各种各样的层合板。这一节将主要讨论各铺层具有同样材料和厚度的一些特殊的对称层合板。A.正交铺设对称层合板凡各铺层只有00和900铺层方向的对称层合板称为正交铺设对称层合板。由正则化面内刚度系数的计算式可以求得正交铺设对称层合板的Aij*。VQQQQVQVQnQnAn)90(22111122)90(11)0()90(11)90()0(11)0(11)()(1VQQQQVQVQnQnAn)90(22112211)90(22)0()90(22)90()0(22)0(22)()(1A12*=Q12A66*=Q66A16*=A26*=0式中V(0)=n(0)/n,V(90)=n(90)/n分别表示0˚方向和90˚方向铺层的体积含量。由正则化面内刚度系数矩阵求逆，即得正则化面内柔度系数矩阵（aij*）。P48例题•B.斜交铺设对称层合板凡各个单层只按±φ两种方向铺设的对称层合板称为斜交铺设对称层合板。如果两种方向的层数相同，则称为均衡斜交铺设对称层合板。对于均衡斜交铺设对称层合板，存在两个弹性主方向。同样，由正则化面内刚度系数的计算式可以求得Aij*。QA)(1111QA)(2222QA)(1212QA)(666602616AAQij)(表示铺层方向角θ＝φ时的偏轴模量分量。但要注意，当θ＝φ时的偏轴模量分量QQ)(26)(16和不为零。因为此时铺层呈现各向异性。但层合板有两种偏轴方向＋φ和－φ，使参考轴为主方向时，不存在拉剪耦合或剪拉耦合；因此，02616AA也即层合板呈现正交各向异性。c.准各向同性层合板为满足（3－6）的条件，可以采用定向层体积含量相同的m(m≥3)种定向层，以间隔为π/m弧度的方向铺设成对称层合板，即为准各向同性层合板。例如：【-60/0/60】s的m＝3的π/3层合板【-45/0/45/90】s的m＝4的π/4层合板均可推出（3－6）凡面内各个方向的刚度为相同的对称层合板称为准各向同性层合板。根据上述定义，可以证明，准各向同性层合板的充要条件：A16*=A26*=0,A11*=A22*,A66*=(A11*-A12*)/2（3－6）满足式中A16*=A26*=0表示层合板具有正交各向异性的性能，又满足A11*=A22*，表示层合板具有正方对称的性能，再满足A66*=(A11*-A12*)/2表示层合板具有准各向同性的性能。由于正则化面内刚度系数与铺设顺序无关，而与铺层比有关，所以按上述方法构成的准各向同性层合板，若改变它的铺层顺序，也不会改变其准各向同性的性能。例如：【-602/02/602】s【-60/02/60/-60/60】s一般π/4层合板，各定向层包含不同体积含量所得的Aij*之间有很简单的线性关系，书中51页给出了以T300/4211复合材料的例子。但一般π/4层合板的aij*的变化图线和工程弹性常数的变化图线要比Aij*的变化图线复杂得多。因此，利用面内刚度系数进行层合板的力学分析，将比利用面内柔度系数更方便。•D.一般π/4层合板凡是具有四个铺层方向彼此相隔45˚（即π/4），且各铺层组可具有任意厚度的对称层合板称为一般π/4层合板。当四个铺层组具有相同铺层体积含量时称为标准的π/4层合板，它是准各向同性层合板。3.1.6对称层合板面内刚度的转换（不要求）3.1.7面内铺层应力和铺层应变分析正则化面内力（aij*）=(Aij*)-1面内应变各铺层正轴应变各铺层正轴应力强度校核例3.1（P54)3.2对称层合板的弯曲刚度上一节讨论了对称层合板在面内力作用下面内变形时的刚度，本章将讨论对称层合板在弯曲力矩作用下发生弯曲变形时的刚度。象利用面内力——面内应变关系式确定面内刚度一样，可以利用弯曲力矩与曲率关系式确定弯曲刚度。3.2.1对称层合板的弯曲力矩——曲率关系式首先作如下假设来近似处理层合板的弯曲问题。1.层合板的刚度是中面对称的，弯曲是几何中面就是中性曲面，即在小变形情况下几何中面各点没有平行于中面的位移。2.直法线假设：弯曲前层合板内垂直于几何中面的直法线段在弯曲后仍保持为垂直于弯曲后中面的直线，且直线段的长度不变。3.忽略σz，各铺层按平面应力状态进行分析。为了依据上述假设导出弯曲力矩——曲率关系式，补充给出如下的应变定义：zwzzuxwxzzvywyz这里w是对应于z轴方向的位移u是对应于x轴方向的位移v是对应于y轴方向的位移根据假2，0zwz所以位移w与坐标z无关，仅为x和y的函数，即w=w(x,y)同样根据假设2，中面法线变形后仍为中面法线，故得γxz=γyz=00zuxwxz0zvywyz即xwzuywzv对z求积分，得),(1yxxwzuc),(2yxywzvc依据假