所有自然数之和是负十二分之一

文刘大可最近有一个很有趣的视频，讲述了这样一件数学趣事：全体自然数的和是-1/12。虽然果壳和知乎上都已经有了问答，但是数学语言过于晦涩，不利于理解，所以我自己写了一份更简洁的日志作为阐述，不过尽量保证了严谨。首先说视频，他是这么证明的：设这个东西等于多少呢？很显然，这要看你在什么地方停下来了，如果你停在第奇数个1上，结果就是1；如果停在偶数个1上，那结果就是0。既然这样的话，那就平均一下好了，它等于1/2。看到这里，你显然会觉得这实在荒唐愚蠢，但是更“荒唐”的东西还在后面，但新奇的东西也在后面，你最好还是继续看下去。好，有了S1=1/2，他又令那么取两个S2错开一位相加，即则有2S2=S1=1/2，，也就是S2=1/4！虽然这让人很不服气，但是他接着计算既然S2=1/4，那么我们大功告成了，S=-1/12——全体自然数的和是-1/12！看到这里的时候，我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑，但视频中一再声称这种算法的意义，所以我翻墙出去做了个简单的研究，得到了这样的结论：我们确实可以对全体自然数求和得到-1/12，但这个和并非我们做加法得到的代数和，而是发散级数和——这个-1/12根本就不“加”出来的。于是，下面就是我对这个问题的解释，虽然有一些公式，但是都极其简单，你可以轻松阅读不费脑子。要弄明白这个问题，我们首先要知道什么是“级数”以及“发散级数”，而这是一个非常简单的问题。随便找一个数列，比如等差数列an=n，也就是1、2、3、4、5、6……把数列中的每个元素都用加号连接起来，就是一个级数，其实就是求总和。对于上面的an，它的级数就是其中，级数的前n项的和被称作部分和，记作Sn（其实就是“数列的前n项和”，高考复习翻来覆去做过的那个东西）。那么只要上过高中就能意识到，随着n趋于无穷，级数的部分和Sn有可能趋近于某一个值，即有极限，比如级数1+1/2+1/4+1/8……，它的部分和就会不断趋近于2。这样的级数称为收敛级数，这个部分和的极限就是收敛级数的和；级数的部分和Sn也可能不趋近于某一值，即无极限。比如1+2+3+4+……，越加越大趋于无穷；又比如1-1+1-1+……，部分和一会儿是1一会儿是0，永远不会固定。只要级数的部分和不是越来越接近某一个定值，就都是发散级数。事情到这里，都是高中数学就学过的内容。很明显的，在这样的背景下，一个发散级数的和没有意义，但是在应用数学中，尤其是物理学的数学应用中，常常被迫需要计算发散级数的和。于是，数学家们发明了很多种算法，在保证收敛级数的和不变的前提下，又让发散级数确实能算出一个东西来，这就是发散级数和，也就是视频里计算出来的那个东西。但是要注意，视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和，但并不能给出良性的定义，也就不是严格意义上的发散级数求和，所以千万不要觉得数学家和物理学家是在胡闹，更不要对科学的严谨产生怀疑。那么，如何计算发散级数和呢？事实上，发散级数和有许多种算法，这些方法强度不同，但结果一致，这里先捡一个最简单也最弱的“切萨罗求和”。恩纳斯托·切萨罗（ErnestoCesàro，1859-1906）切萨罗求和（Cesàrosummation）是意大利数学家恩纳斯托·切萨罗（ErnestoCesàro）发明的发散级数求和法。对于一个发散级数，对它的部分和数列Sn求前n项的平均值，即令如果tn有极限，那么这个极限就是发散级数的和，称为切萨罗和。不难体会到，切萨罗和本质上是在求数学期望，视频里辅助用的级数1-1+1-1+……=1/2那个“平均一下”就是这么来的。当n无穷增大的时候，分子上的1只有n的一半那么多，所以它显然是1/2。这个乍看怪异的级数和首先由意大利数学家路易吉·格兰迪（LuigiGuidoGrandi）于1703年发现，因此被称为格兰迪级数，当时被当作一个佯谬。后来那个著名流体力学奠基者，荷兰数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli），以及瑞士的大数学家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）都对它做过研究，一直都是争议的焦点。直到19世纪才由切萨罗等人提出了这样的良好定义。路易吉·格兰迪（LuigiGuidoGrandi，1761-1742）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1718–1781）丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli，1700-1782）而到了量子物理时代，格兰迪级数及其衍生级数意外的变得有用——这或许让你联想起薛定谔的猫，要么是死（0）要么是活（1），那它就是半死不活（1/2）。但它们的关系显然不是这么幼稚简单，它被用来研究量子化的费米子场（费米子包括组成实体万物的基本粒子，比如电子、质子、中子，以及中微子这样极其重要的基本粒子），它们同时具有正的和负的本征值。另外在玻色子（比如光子）的研究中，格兰迪级数也有戏份，比如揭示宇宙中“真空不空”的“卡西米尔效应”而格兰迪级数最重要的衍生级数，就是视频里的另一个辅助用的级数：它最早于18世纪中期由欧拉发现（又是他，而且当时他已经瞎了）。视频里发现这个级数和的时候错开了一位，但实际上错开多少位结果都一样，例如错开两位：当然，欧拉这样的数学大师是用了更复杂的方法才发现了它，并被当作另一个佯谬提出。这个佯谬直到19世纪80年代初才由刚才的恩那斯托·切萨罗等人研究出了定义良好的计算方法，但是，这个级数不能直接用上面的切萨罗求和计算，因为tn仍然没有极限，需要做一些复杂的扩展，这里就不加说明了，或者采用下面灰字部分的阿贝尔求和也能轻易算出——如果你不想看，不看也可以。阿贝尔求和（Abelsummation）来自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（NielsHenrikAbel）在幂级数研究上的总要结果阿贝尔定理（不要介意这个定理是干什么用的）。如果|x|1，且幂级数（也就是级数中的每一项都有一个指数）收敛，那么就是级数的阿贝尔和。虽然看上去比较玄，但明白了其中的意思就是“比1小但无限接近于1”，就能明白就是一个无限接近1的数，整个算法也就不难明白了。下面再给出一种更简单，同时也更巧妙的算法：看明白了吗？把两个格兰迪级数“相乘”（实际上是一种被称为柯西乘积的数列卷积，但是这两个数列的数字实在简单，恰好与直接乘法结果一致），可以用一个棋盘格子表示其结果中的每一项，黑色表示1，红色表示-1，那么斜着数一数黑红格子数，就可以数出1个黑的、2个红的、3个黑的、4个红的……，也就是1-2+3-4+……，所以有没有觉得很有趣？现在回到最初的问题上来，“全体自然数的和是-1/12？”是一个发散得非常厉害的级数，不论切萨罗求和还是阿贝尔求和都强度不够，对它无能为力。真正给出这个发散级数的良性定义的计算方法的，是印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努詹（SrinivasaRamanujan）给出的拉马努詹求和。但这个求和非常复杂：若函数f(x)在x=1处不发散，那么令C(0)就是级数的拉马努詹和了……好吧，恐怕没有足够数学基础的人是无法看懂了，所以我并不打算在这里讲述——能看懂的人不需要我这样的水平来讲；看不懂的人我这样的水平也讲不了。不过可以简单介绍一下拉马努詹这个人，因为他是一个传奇的数学神才——天才只是一个更加优秀的常人，但神才是一个超出常人理解的存在，一个开了外挂的存在。他从没有接受过高等数学教育，却仅凭直觉就能直接发现惊人的数学公式，证明他正确工作就甩给天才们了——于是留下了一连串的拉马努詹猜想，而绝大多数都被证明正确。斯里尼瓦瑟·拉马努詹（SrinivasaRamanujan，1887-1920）他总能用直觉和洞察力给出不可思议的数学公式，比如他发现：又如他重病时，他在剑桥大学的导师哈代前去探望，哈代说：“我乘计程车来，车牌号码是1729，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努詹答道：“不，那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即1729是1和12的立方和，也是9和10的立方和，后来这类数称为的士数。）说完不久，拉马努詹就病死了……后来哈代这样评价他：“他的知识的缺陷和他的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的人……直到前所未闻的地步，他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项；但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理，对复变函数只有最模糊的概念……”拉马努金的传奇故事还有很多，这里点到为止，有兴趣的同学可以自行查阅。除了拉马努詹求和，全体自然数组成的发散级数还可以用黎曼ζ函数计算，这里给出维基百科的页面，如果上过大学数学，应该能获得感性认识。另外，这里额外补充一个发散级数：也就是无穷多个1相加，在通常的认识里，它也就是无穷大的化身——但是作为一个发散级数，同样可以用拉马努詹求和或者采用黎曼ζ函数计算，结果是-1/2。这实在让人难以置信，但同样在物理学上有切实的意义——所以在21世纪初一次巴塞罗那的报告会上，两位杰出的物理学家A.Slavnov和F.Yndurain不约而同地说道：“各位都知道，1+1+1+1+…=−1⁄2——含义是：如果您不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。”（Elizalde,Emilio(2004).Cosmology:TechniquesandApplications.）好，这就是日志的结尾了，重申开头部分提过的那句话：全体自然数之和等于-1/12并不是加法游戏搞出来的代数和，而是将其作为发散级数，经过严谨的定义计算获得的发散级数和，只有声明它是切萨罗和、阿贝尔和、拉马努詹和或者任何级数和才有意义。而这个级数和同样在物理学中有重要应用，特别是在当代物理的量子论和弦论当中。另外，还需谨记：数学和科学永远严谨，一丝不苟，如果你发现其中有看似荒唐或者怪异的结论——请先跳出自己常识认知的藩篱，了解其中的深意再做评价。举个最常见的例子，陈景润证明哥德巴赫猜想时得出了“任何充分大的偶数都是两个自然数的和，一个质因数不超过1个（即质数），另一个的质因数不超2个”，简称“1+2”，如果一听到这个简称就跑出去说“陈景润证明了1+2=3”，并且藉此说“到现在数学都没证明1+1=2”，那就真是太可笑了——我初三的数学老师就是这么一个家伙，我很讨厌他，因为他欺负我。另外，本人非数学专业，欢迎指正。