数理统计第八章-假设检验

第八章假设检验假设检验的基本思想和概念参数假设检验正态总体均值的假设检验正态总体方差的假设检验非参数假设检验奈曼-皮尔逊引理和UMPT，，，~iid1n8.1假设检验的基本概念和思想一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验总体分布已知，参数未知，由观测值x1，…，xn检验假设H0：=0；H1：≠02、非参数假设检验总体分布未知，由观测值x1，…，xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)),,(~,,1xfiidn则都是复合假设。未知；：或：是简单假设，而：))(()(000100xFxFHHH本课程主要讨论参数假设检验；说明：(1)假设也称为统计假设；(2)H0称为原假设；H1称为备择假设；(3)做假设检验的最终目的是作出推断：是接受原假设,还是拒绝原假设而接受备择假设。(二)简单假设与复合假设如果一个统计假设完全确定总体的分布，则称该假设为简单假设，否则就称为复合假设。),,(~,,1xfiidn例如对于则称(三)检验法则与拒绝域以样本(1，…，n)出发制定一个法则，一旦观测值(x1，…，xn)确定后，我们由这个法则就可作出判断：是拒绝H0还是接受H0.这种法则称为H0对H1的一个检验法则，简称检验法。样本观测值的全体组成样本空间S，把S分成两个互不相交的子集C和C*，即S=C∪C*，C∩C*=，假设当(x1，…，xn)∈C时，我们就拒绝H0；当(x1，…，xn)∈C*时，我们就接受H0.子集CS就称为检验的拒绝域(或临界域)。(四)检验的两类错误我们给出了H0对H1的某个检验法则，即给出了S的一个划分：C与C*，由于样本的随机性，在进行判断时，还可能犯错误。{拒绝H0|H0真}={(x1，…，xn)∈C|H0真}——第一类错误或“弃真”{接受H0|H0假}={(x1，…，xn)∈C*|H0假}——第二类错误或“取伪”这两个事件都是小概率事件，常记P{拒绝H0|H0真}=，P{接受H0|H0假}=，，在0~1之间，通常不超过0.1。(五)显著性检验对于给定的一对H0和H1，总可找出许多临界域，人们自然希望找到这种临界域C，使得犯两类错误的概率和都很小。但在样本容量n一定时，这又是做不到的，除非容量n无限增大。奈曼—皮尔逊(Neyman—Pearson)提出了一个原则：在控制犯第一类错误的概率的条件下，尽量使犯第二类错误小，这是最优检验(MPT)，但是有时MPT法则很难找到，甚至不存在。在这种情况下，我们不得不降低要求，另提一些原则。应用上常采纳的原则是“只对加以限制，而不考虑的大小”。二、显著性检验法则的构造构造统计量t=t(X1，…，Xn)，x1，…，xn为样本观测值，令T={t=t(x1，…，xn)满足某条件：(x1，…，xn)∈C}于是P{t∈T|H0真}=P{(x1，…，xn)∈C|H0真}=；t∈T通常用一个不等式来表示，这样就得到了一个检验法则。现在，我们已经把S的划分转化为统计量t的值域空间的划分,这是一个把n维的问题转化为一维的问题。按这种法则做出的检验称为“显著性检验”，此时称为显著性水平或检验水平。1500150010：；：经分析要检验的假设为解：HH例：设某厂生产一种灯管，其寿命X~N(，40000),由以往经验知平均寿命=1500小时，现采用新工艺后，在所生产的灯管中抽取25只，测得平均寿命1675小时，问采用新工艺后，灯管寿命是否有显著提高。，从而，有，使故存在的无偏估计，是，而：意味着接受由于拒绝KXKXHH15000150010}1500|1500{}|{00KXPHHP真拒绝；，，其中，真25200)10(~1500X0nNnXnUHzzz645.1375.45/20015001675252001500xU,645.105.005.0计算得，则查表得现给定。简记为：，，其中，，，：得到，其中真时zUzUxxCCxxznUnKzzPHnn},){(})(2001500x{tT}{U,110故观测值(x1，…，xn)∈C，可作出结论:拒绝H0而接受H1:1500，即认为采用新工艺后，灯管寿命有了显著提高.显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量，在H0真时其分布已知；(3)给定水平的值(一般为0.05，0.025，0.01，0.005等),求出H0对H1的拒绝域C；(4)查表、计算得分位点和统计量的值；(5)比较统计量与分位点值的大小，得出结论，依据是小概率原理。显著性检验解题步骤简述:做假设;构造统计量;推求拒绝域;查表计算;比较大小得结论.8.2单正态总体参数(均值与方差)的假设检验一、单总体均值的假设检验。：；：检验假设，，值，由观测给定检验水平，，，设0100121),(~HHxxNXXniidn1.2已知的情形2/2/0}{)10(~XXU0zUzUPNnnH，可得拒绝域：由，真对于假设H0：=0；H1：0，构造。：反之，接受：而接受，则拒绝若000102/0H;H|X|HznU查表，计算，比较大小，即得结论：说明：(1)H0：=0；H1：u0称为双边HT问题；而H0：=0；H1：0(或0)，则称为单边问题；(2)H0：0；H1：0或H0：0；H1：0也称为单边HT问题，不过这是一个完备的HT问题。(3)完备的单边HT问题与不完备的单边HT问题有相同的拒绝域，从而检验法一致。？对于H0：=0；H1：0，2已知，由)10(XXU},|{}|H{~000000，构造真拒绝真NnnKXPHPiidH由P{Uz}=，可得拒绝域Uz=z1同理可知:对于H0：=0；H1：0，2已知的情形，其拒绝域为Uz2.2未知的情形)1n(t~nSXnSXT0H0真由P{|T|t/2(n1)}=，可得拒绝域|T|t/2(n1)，查表、计算，比较大小即得结论。此时，对于单边问题H0：=0；H1：0，有拒绝域Tt(n1)=t1(n1)；对于H0：=0；H1：0，有拒绝域Tt(n1)。对于假设H0：=0；H1：0，构造二、单总体方差的假设检验1)}1()1({)1(~1)S-(n1)S-(n22/22/1222202202120200nnPnHHH或由，构造：；：对于假设真。：；：检验假设，，值，由观测，给定检验水平，，，设20212020121)(~HHxxNXXniidn1.未知的情形。或可得拒绝域)1()1(22/22/1nn。可解得拒绝域：，：；：而对单边问题；可解得拒绝域：，：；：对于单边问题)1()1(2202120202120212020nHHnHH2.已知的情形。其中。即可作相应的假设检验，此时构造统计量真212222202)(1)(~0niiHXnSnnSnS8.3双正态总体均值差与方差比的假设检验一、均值差的假设检验，，，，，，，设)();(22212111~~21NYYNXXiidniidn21121011HH,21：；：检验假设，；，，，由观测值水平两样本独立，给定检验nnyyxx已知的情形，2221.1)10(~)(222121212221210，构造统计量真NnnYXnnYXUH.zUzU与绝域分别是而对应的单边问题的拒；，即得拒绝域由2/2/}{zUzUP)2()2().2()}2({2121212/212/nntTnntTnntTnntTP与绝域分别是而对应的单边问题的拒，即得拒绝域由未知的情形2221.2)2(~11)(11212121210nntnnSYXnnSYXTwHw真构造未知且不等2221,.3(1)n1=n2此时，可令Zi=XiYi，i=1,…,n,则Z1,…,Zn其中，未知).,(~2ZiidN于是问题回到了单正态总体方差未知时均值是否为零的HT情形。2221221,Z(2)n1n2,不妨假设n1n2此时,可令(斯切非Scheffe法)).,(~2ZiidN问题还是回到单正态总体方差未知时均值是否为零的HT情形.Z1,…,Zn1,...,,1,11121211niYYnnYnnXZnjjiii其中,未知222121221,nnZ则仍有可考虑推求均值差的置信区间的问题二、方差比的假设检验，，，，，设),(NYY);,(NXX222iidn1211iidn1~~212111nnyyxx，，；，，两样本独立，给定检验水平，由观测值1.1，2未知的情形)11(~212222212122210nnFSSSSFH，构造真由P{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}=2221122210HH：；：检验假设，，构造真)(~212222122221021nnFSSSSFH即得拒绝域FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)而对应的单边问题的拒绝域分别是FF1(n11,n21)与FF(n11,n21)2.1，2已知的情形即可得到检验的拒绝域。双正态总体参数的假设检验汇总(自己补上).niidnxxNXX，，，观测值，检验水平，，，设121)(~|U|N(0,1)XU)H(HH2/0200010zn已知拒绝域真分布统计量条件)1()1()1(1)S(n)()()(nS22/22/1220222/22/12202202202nornnnornn未知已知)1(|T|1)-t(nXT2/02ntnS未知单正态总体参数的假设检验汇总三.指数分布总体参数的假设检验0100HH：；：，，，设)(~1ExpXXiidn总体X的概率密度为0,00,);(xxexfx由于Y=2X~2(2),故可构造).2(~22200nXnXnYH真给定显著性水平，试由观测值11nxx，，检验假设可得拒绝域：).)//2nY2nY22221（或（8.4分布函数的拟合检验（非参数假设检验）一、皮尔逊2拟合检验法设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样本，x1,x2,…,xn为样本的观测值，Fn(x)为经验分布函数，F0(x)为已知的分布函数，通常可由样本观测值推测，Fn(x)与F0(x)差异是否显著.皮尔逊用称之为“分歧度”的统计量1.概念kiiiinpnpn12)((8.4.2)来度量Fn(x)与F0(x)差异的大小。他与费歇尔证明了如下定理：定理8.4.1(皮尔逊-费歇尔定理)在H0为真时，不管总体服从什么分布，由(8.4.2)定义的分歧度的极限分布是2(kr1).其中，k为数据分组数，r为F0(x)中未知参数的个数。二、2拟合检验法解题要点将n个观测值x1,x2,…，xn按大小顺序排列:x(1)x(2)…x(n),寻找一个适当的区间[a,b]