数列例题(含答案)

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把an=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．Rn=c1+c2+…+cn=③④③﹣④得：=所以；所以数列{cn}的前n项和．2．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，2解得，所以an=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）=+=2101．3．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．4．已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn•bn+2＜bn+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2n．bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=3∵bn•bn+2﹣bn+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）=﹣2n＜0∴bn•bn+2＜bn+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1bn•bn+2﹣bn+12=（bn+1﹣2n）（bn+1+2n+1）﹣bn+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n（bn+1﹣2n+1）=2n（bn+2n﹣2n+1）=2n（bn﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴bn•bn+2＜bn+125．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{bn}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{an}中的第63项相等6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{bn}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得4即解得．故an=2n﹣1，Sn=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm，即，（8分）．移项得：=﹣=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．7．设{an}是等差数列，bn=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项an．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时an=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时an=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．58．已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1﹣（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=anbn，求证cn+1≤cn．【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=S1=1﹣当∴数列{bn}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴cn+1≤cn．9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以an=3+2（n﹣1）=2n+1；Sn=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn==…（8分）6=，…（10分）所以Tn=．…（12分）10．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（n≥2），b1=，求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4•a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7解得a4=3，a7=5，设数列{an}的公差为d由．故等差数列{an}的通项公式为：（2）=又∴=11．设f（x）=x3，等差数列{an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=，令bn=anSn，数列的前n项和为Tn．（Ⅰ）求{an}的通项公式和Sn；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴an=3n﹣2∵f（x）=x3∴Sn==an+1=3n+1．（Ⅱ）bn=anSn=（3n﹣2）（3n+1）∴∴7（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，Tm，Tn成等比数列．∴即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求数列{bn}的前n和Tn．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2∵{an}是等差数列，a1符合n≥2时，an的形式，∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，∴q=0（Ⅱ）∵，由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4∴an=8n﹣6由an=2log2bn，得bn=24n﹣3．∴，即{bn}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{bn}的前n项和．13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2+a4=14，S7=70．（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值．【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）解得以an=3n﹣2．…（4分）8（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）14．己知各项均为正数的数列{an}满足an+12﹣an+1an﹣2an2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=anan，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵an+12﹣an+1an﹣2an2=0，∴（an+1+an）（an+1﹣2an）=0，∵数列{an}的各项均为正数，∴an+1+an＞0，∴an+1﹣2an=0，即an+1=2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{an}的通项公式an=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=得，bn=﹣n•2n，∵Sn=b1+b2++bn，∴Sn=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2Sn=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，Sn=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=，要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），9两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．