数列讨论奇偶

11.在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，(Ⅰ)证明：a4，a5，a6成等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；(Ⅲ)记，证明。解：(Ⅰ)证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，a5=a4+4=12，a6=a5+6=18，从而，所以a4，a5，a6成等比数列．(Ⅱ)由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*，所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），k∈N*，由a1=0，得a2k+1=2k（k+l），从而a2k=a2k+1-2k=2k2，所以数列{an}的通项公式为或写为。(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知a2k+1=2k(k+1)，a2k=2k2，以下分两种情况进行讨论：(1)当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)，若m=1，则，若m≥2，则，所以，，2从而，n=4，6，8，……（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*），，所以，从而，n=3，5，7，……综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有。2.（本小题满分12分）数列221221,2,(1cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaan满足(Ⅰ)求34,,aa并求数列na的通项公式；(Ⅱ)设21122,.nnnnnabSbbba证明：当162.nnSn时，解(Ⅰ)因为22123111,2,(1cos)sin12,22aaaaa所以2222(1cos)sin24.naaa一般地，当*21(N)nkk时，222121(21)21[1cos]sin22kkkkaa＝211ka，即21211.kkaa所以数列21ka是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.kak当*2(N)nkk时，22222222(1cos)sin2.22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kka故数列na的通项公式为*2*21,21(N),22,2(N).nnnkkankk3(Ⅱ)由(Ⅰ)知，212,2nnnnanba23123,2222nnnS①2241112322222nnnS②①－②得，23111111.222222nnnnS1111[1()]1221.122212nnnnnn所以11222.222nnnnnnS要证明当6n时，12nSn成立，只需证明当6n时，(2)12nnn成立.证法一(1)当n=6时，66(62)48312644成立.(2)假设当(6)nkk时不等式成立，即(2)1.2kkk则当n=k+1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.2(2)(2)222kkkkkkkkkkkkkk由(1)、(2)所述，当n≥6时，(1)12nnn，即当n≥6时，12.nSn证法二令(2)(6)2nnnncn，则2111(1)(3)(2)30.222nnnnnnnnnncc所以当6n时，1nncc.因此当6n时，66831.644ncc于是当6n时，(2)1.2nnn综上所述，当6n时，12.nSn3.4