高职应用数学第三节换元积分法

第三节换元积分法一.第一换元法()gxdx恒等变形/[()]()[()]()fxxdxfxdx换元u=(x)()fudu积分()FxC[()]FxC回代u=(x)　利用第一换元积分法时，要把被积表达式分解出，并凑成微分，因此这种方法也称为凑微分法./()xdx()dx第一换元法求不定积分的一般步骤如下：例4.3.1求.(凑常数)解原式5(38)xdx51(38)(38)3xdx61(38)18xC3x+8=u513udu61136uCu=3x+8例4.3.2求.(凑函数)2xxedx解原式212uxedu=u221()2xedx12ueC2212xxeCu=sinxdxx例4.3.4求.2sin()2cosxdxxC解原式2cossinxxdx例4.4.5求.231cos(cos)cos3xdxxC解原式注:在熟悉了换元的规则与步骤后,可将中间变量默记在心里而不需写出来.例4.3.7求.(a0)解原式22dxdxax221dxdxxaa2()1()dxxdaxaarcsinxCa例4.3.6求.2sinxdx解原式1cos22xdx11cos2(2)24xxdx注:有的被积函数不能直接凑微分,需进行适当的变型.例4.3.9求.解原式2145dxxx21(2)1(2)dxxarctan(2)xC例4.3.10求.解原式221dxax1()()dxaxax111()2dxaaxax1111()()22daxdaxaaxaax11ln()ln()22axaxCaa1ln2axCaax例4.3.11求.解原式secxdxsec(sectan)sectanxxxdxxx2secsectansectanxxxdxxx(sectan)sectandxxxxln(sectan)xxC二.第二换元积分法第二换元积分法的一般步骤：()fxdx换元x=(t)/[()]()fttdt积分()FtC-1回代t=(x)1[()]FtC其中是的反函数.-1t=(x)x=(t)1.根式代换如果被积函数中含根式（一般是根式里含的一次式）可令axbx.axbt例4.3.13求.解令，则.11dxxxt2dxtdt原式21tdtt(22)21tdtt22(1)1dtdtt2ln(1)ttC2ln(1)xxC2.三角代换21.xdxsinxcosdxd2cosd1cos22d1211cos224dd11sin224C112sincos24C例4.3.14求解令，则原式sinxarcsin,x2cos1xx21x21arcsin1.22xxxc由作辅助三角形（图4.3.1），从图中代入上式原式.可知1θ（图4.3.1）得例4.3.15求22(0).axdxa解令，则.原式sinxatcosdxatdt22cosatdt21cos22tadt221cos2224aadttdt22sin224aattC222arcsin22axxaxCat（图4.3.2）22axxa例4.3.16求.解令，则.32221()dxaxtanxat2secdxatdt原式331secdtat331costdta231(1sin)sintdta3311(sinsin)3ttca332222311()3()xxcaaxaxt（图4.3.3）22axxa一般的，三角换元法的类型有：(1)含：作变量代换；22axsinxat(2)含：作变量代换；22xatanxat(3)含：作变量代换；22xasecxat第一换元积分法与第二换元积分法统称为换元积分法.三.定积分的换元法则()[,](),fxabxt设在区间上连续,做代换()(),ab且满足，[,],xab当在上变化时[]t在上变化'()[],t在连续'()()[()]()()|()()bafxdxxtfttdtFtFF令例4.3.18求解原式150(38).xdx1501(38)(38)3xdx381111568811318xuuduu661(118)18例4.3.19求解原式220cossin.xxdx　220cossinxxdx220coscosxdxcos03113xuu13例4.3.20证明：(1)当在上连续且为奇函数时，,aa()aafxdx＝０；(2)当在上连续且为偶函数时，()fx()fx,aa0()2()aaafxdxfxdx＝　．证()aafxdx00()()aafxdxfxdx　．xt令　，则000()()()aaafxdxftdtftdt)(xfaa,()().fxfxaadxxf)(0)(adxxfadxxf0)(adxxf0)(adxxf0)(adxxf0)(adxxf0)(当在对称区间上连续且为奇函数时，所以=0.)(xfaa,)()(tftf()aafxdx02().afxdx()aafxdx02()afxdx3yx2yxaa,当在对称区间上连续且为偶函数时，由，可得.类似可证.思考：以奇函数和偶函数在对称区间上为例,说明例4.3.20结论(1)和(2)的几何意义,并说说其应用.523243sin.1xxdxxx42251sinxxxx]3,3[523243sin0.1xxdxxx例4.3.21求解由于被积函数在对称区间上为奇函数，于是有.401.1dxxtxtdtdx2dttt20122022ln(1)42ln3tt例4.3.22求解令，则原式.12201.xxdxsinxtcos,dxtdt220sincoscostttdt2201sin24tdt2011cos442tdt201sin4()|.8416tt例4.3.23求解令，则原式.1.定积分换元须换上下限，而不定积分没有上下限问题;2.不定积分的换元法需回代,而定积分则没有回代问题.注意:定积分与不定积分换元法上的区别：