专题一-数列求和(2)裂项相消法+错位相减法

专题一（2）裂项相消法裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．例1：(1)求数列11×3，13×5，……，)12(1-n21n）（，的前n项和；(2)求数列11×3，12×4，13×5，……，1nn＋2，的前n项和。解：(1)11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝121－13＋13－15＋15－17…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.(2)11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝121－13＋12－14＋13－15…＋1n－2－1n＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2.说明：（1）裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和．适合于分式型数列的求和。（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．（3）一般地若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，1an·an＋2＝12d(1an－1an＋2)．（4）此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．2－1.求数列11×4，14×7，…13n－23n＋1，…的前n项和．解：11×4＋14×7＋…＋13n－23n＋1＝131－14＋14－17＋17－110…＋13n－2－13n＋1＝131－13n＋1＝n3n＋1.变式例2、设{an}是公差d不为零的等差数列,{bn}满足求数列{bn}的前n项和。11nnnaab解:11nnnbaa11nnnnaadaa1111()nndaa123nnSbbbb)11(1)11(1)11(113221nnaadaadaad122311111111()nndaaaaaa11111()ndaa11.nnaa它的拆项方法你掌握了吗？常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.4nnnnnnn)(11.5bababa12112()(1)(1)12nannnnnn11111112(1)223341122(1)11nSnnnnn思考求111112123123n提示：研究通项,对通项进行化简或变形专题一（3）错位相减法等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+···+an即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+a1q3+······+a1qn-1+a1qn错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn错位相减法忆一忆等比数列的前n项和公式的推导采用了什么方法？数列{an}是由项数相同的等差数列{bn}与等比数列{cn}的对应项乘积组成的新数列,即an=bn.cn那么这个数列的前n项和则采用“错位相减法”求和.说明：（1）使用错位相减法的条件：如：an=n.2n,an=(2n-1).,1-n31）（问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？nann21）（.212)1(311nnnna　）（,22,,26,24,22432nn）（)2112(815,413,2112nn）（)0()12(,,5,3,1512aanaan）（(3),(4),(5)说明：（2）使用错位相减法的步骤：展开，乘公比，错位，相减，求和。①展开：将Sn展开;②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比q;得新式qSn；③错位：让式子qSn往后错一位，与Sn式子次数相同的相对齐;④相减：左侧为（1-q）Sn，右侧中间一般有n-1项可用等比数列求和；⑤解出Sn。n112233-1-1231n2SS122232(1)22nnnnnnnnnabnabababababnn解：即①-②得nS22341122222(n-1)22nnn132n22222Snnn即132n221212121Snnn22)1(22122211nnnnn1n2)1(2Snn故错位相减法：展开,乘公比,错位,相减,求和例4、已知数列{an},{bn},且an=n,bn=2n,求数列{an.bn}的前n项和。变式训练、本例条件下求数列的前n项和。}{nnba231n234123n1231n()2211111T12()3()+(1)()()222221111111()2()3()+(1)()()222222111111111()[phone]()()+222nnnnnnnnnnnanbnnTnnTn解：①②①②得（）（）11n11111()()22111()1222()1212111()2112+n1T2()()=2-()22222nnnnnnnnnnnnn故求和：nn3)12(33312nnnn3)12(3)32(3331S12n记解：1323)12(3)32(3331nnnnnS3123)12(3232312nnnnS两式相减得1n2n3)12()3323S2nn（1n23)12(3133323nn13)22(6nn1n3)1(3Snn故课堂练习-2Sn例5、(2017·高考山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列}ab{nn的前n项和Tn.解：(1)设{an}的公比为q，由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2.又an0，解得：a1＝2，q＝2，所以an＝2n.解：(2)由题意知：S2n＋1＝（2n＋1）（b1＋b2n＋1）2＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝bnan，则cn＝2n＋12n，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋522＋723＋…＋2n－12n－1＋2n＋12n，又12Tn＝322＋523＋724＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，两式相减得12Tn＝32＋12＋122＋…＋12n－1－2n＋12n＋1，所以Tn＝5－2n＋52n.变式训练．求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.解：当x＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝12n(n＋1)；当x≠1时，Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，∴Sn＝1－xn（1－x）2－nxn1－x.综上，Sn＝12n（n＋1），x＝1，1－xn（1－x）2－nxn1－x，x≠1.课本P61T4(3)1.写求和展开式时习惯算出每一项。2.出现某些项的遗漏现象。3.项数的计算错误。4.两式相减时，等比数列前面的系数出错。5.第四步中前面的系数没有除尽。nS1、公式法：直接套用公式.3、倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.回顾数列求和常用方法：2、分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和即可。如求数列{2n+n}的前n数列项的和.6、并项法：将数列的每两项（或多项）并到一起后，再求和，这种方法常适用于正负相间隔数列的求和。4、错位相减法：若数列形如{an.bn}，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。如求数列{n.3n}的前n项和。5、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适合分式型数列的求和。