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高等数学一函数、极限、连续ln1(1)()()(2)(3)(4)xfxegxx函数函数的定义注意:仅当两个函数的对应规律和定义域均相同时,它们才是同一函数。例:与不是同一函数。函数的性质:有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数初等函数:由常数函数和基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合构成的函数。注意:熟练地将初等函数拆成若干个常数函数和基本初等函数的四则运算或函数复合。0021)lim()lim()lim()lim()lim()2()lim()nnnnxxxxxxxAxxxfxfxAfxAfxfxAxxfxfx极限数列极限:性质:若数列收敛,则必有界,反之不一定成立。2)函数极限(1)当时,的极限:()当时,的极限:000lim()lim()lim()lim()0,lim()0.()lim0,()()()(())()xxxxxxAfxAfxfxAxxxxxxoxx3)无穷小与无穷大(1)无穷小与无穷大的定义(2)无穷小的比较:设若称是比高阶的无穷小,记作;()lim,()()()()lim(0),()()()1,()()()().xxxxxccxxxcxxxx若称是比低阶的无穷小;若称与为同阶无穷小;特别地,若称与是等价无穷小,记作2(3)limlimlim.0sin,tan,arcsin,arctan,ln(1),1,1cos,112xnxxxxxxxxxxxxexxx等价无穷小代换定理若,,且存在,则有:几个常用的等价无穷小:时,0101.4)5sinlim1;lim(1)xxxxnxxxe函数极限的四则运算法则)两个重要极限001011016,,0,,lim,.7)(1)(2)nnnmmxmanmbaxaxanmbxbxbnm)一个重要结论几种常用的求极限的方法利用两个重要极限求极限利用无穷小的性质“无穷小与有界函数的乘积是无穷小”求极限(3)利用等价无穷小代换求极限(4)利用洛必达法则求极限22200222000(1)limlim1ln(1)()1cos22limlimtan223lim(sin+sin2)2limsinlim2,limsin224limsin0(xxxxxxxxxxxexxxtxtxtxxxxxxxxxxxtxx例1例例不存在因为:不存在例利用“无穷小与有界函数乘积是无穷小322211lim111limlim2212lim1xxxxxxxxxexxexexx”性质)例5000000000031)()lim()()()lim()lim()()2)()()b)limxxxxxxxxfxxfxfxfxxfxfxfxxfxfxx连续函数在点连续的定义:在点连续函数的间断点及其分类(1)点为的间断点(不连续点):若满足下述三条中的任何一条:a)在点没定义;0000000()lim()().(2)lim()lim()()lim()xxxxxxxxfxfxfxfxfxxfxfxx不存在;c)间断点分类:第一类间断点:若和均存在,称间断点为的第一类间断点。特别地,若存在,称间断点为可去间断点。第二类间断点:不是第一类间断点的间断点。00lim(),xxfxx特别地,若称间断点为无穷型间断点。3)初等函数在其定义区间内是连续的。4)闭区间上连续函数的性质(1)有界性定理(2)最值定理(3)介值定理(4)零值点定理11114,01,1()()1?1(1)3,1.4lim()lim()2,1lim()lim[(1)3]3,(1)2,2+3,xxxxaxfxfxxaxkxxfxaaxfxkxfaaa例设要使在处连续,则解:121.4,0,2()(0,)1,01,0,3()(,)0.,0xxxfxxxexfxaxax例的连续区间是:(-,0)例在上连续,则11111111000140()1111lim1,limlim1,1110()sin10(xxxxxxxxxxxexfxeeeeeeexfxxx例是的何种类型间断点?解:是的第一类间断点中的跳跃型间断点。例5方程在下列区间中至少有一根的区间是:BA)(-,0)(B)(0,)(,4)(D)(4,+)(C)二单元函数微分学000000000000011()()()()()limlim()()()2)()()(,())3xxxfxxfxfxfxfxxxxfxfxfxfxyfxxfx导数与微分)导数的定义:存在导数的几何意义:表示曲线在点处切线的斜率。)可导与连续的关系:可导连续,反之不一定成立。4(),),[()]()().(2)(,)0(),.(,)0(),yfuuxyfxdydydufuxdxdudxdyFxyyyxdxFxyyyx)各类函数求导数(1)复合函数求导数:链式法则(则的导数:隐函数求导数:设确定隐函数求方法:将中的视为即:00(,())0,.(3)()()(),()()5()()Fxyxdyxdxxtdytyyxytdxtyfxxdyfxdx两边对求导数,则可求得参量函数的导数:确定)微分在点的微分为:可微可导114,01,1()1___,___1(1)3,1()1()14lim()lim[(1)3](1),2+3,11xxaxfxxakxkxxfxxfxxakxfaax例设在处可导,则解:在处可导,在处连续,即:则111()1(1)(1),4132(1)1(1)limlim1,1(1)(1)(1)33(1)lim,11.xxxfxxffxxfxxxkxfkxk又由在处可导,则则222222arctan()()C111()()()()()()111(1),1()()sin3L:cos242230dyyxyyxdxBCDxyxyxyxyyyyxyxyxttytxy例由方程所确定的隐函数的导数是:1(A)解:得例曲线在相应点处的切线方程为:D(A)=44(B)2220(C)2230(D)22202sin22|=|=22,(,0),cos42222()22202ttxyxyxydyttdttyxxy-解:对应点为切线方程:,即:1000000000014(),|111A2(B)2()(D)22()()5()()2,lim[()()][()()]limxxxxfxdyxdxdxCdxdxfxxfxxfxxxfxxfxxfxfxxfx例设则是:C()例设在点处可导,且求解:原式02()4xfx达法则。型未定式,再运用洛必型或变形化成型未定式,必须先通过以及型型,对于型未定式,及仅适用于注意:简略地讲,洛必达法则使得:,至少存在一点内则在内可导,上连续,在在若拉格朗日中值定理,使得:内至少存在一点则在,且内可导,上连续,在在若罗尔定理)微分中值定理00,1,0000)()(lim)()(lim3))()()(),(),(],[)(2).0)(),()()(),(],[)(1200xgxfxgxfabafbffbababaxffbabfafbabaxf1limlim52ln12lnlimln2ln)1(lim2log)1(lim4DCB(A):0)(),(),(0)(],[)(323(D)(C)2(B)0(A)],0[sin)(2)1(0254)(D)()1(01)((C))11(2)((B)3)x(01)((A)10sinlimcsc1limcotlnlimlntanlimlntan0tan011123202000eeeeeexxxxxAxfbabaxfbaxfBxxfxxxxxfxxxfxxxfxxfDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例有两个根)(只有一个根)(没有根)(至少有一个根方程内,则在内有两个不同实根,在且方程上可导,在设例是:上满足罗尔定理条件的在例朗日定理条件的是:在指定区间上满足拉格在下列函数中,例。驻点也不一定是极值点极值点不一定是驻点,注意:点的判别。该充分条件仅适用于驻为极大值点。则若为极小值点;则若为极值点。则若第二充分条件:极值嫌疑点的判别。该充分条件适用于所有不是极值点。则不变号,的两侧,若在极值嫌疑点为极小值点。则变正,若由负为极大值点;则若由正变负,为极值点。则变号,的两侧,若在极值嫌疑点第一充分条件:极值点的求法:)(为单减区间。否则,。则该子区间为单增区间若为正,在每个子区间的符号,判断间,的定义域分成若干子区极值嫌疑点将单调区间的求法:)()及导数不存在的点。驻点(导数为零的点极值嫌疑点:)(函数的单调性与极值)导数应用,0)(,0)(,0)()()(3)()(2113000000000000xxfxxfxxfxxfxxxxxfxxfxf))((,0)())(,())(,()(3)()(21200000000为拐点。,则若第二准则:不是拐点。否则,为曲线的拐点。则变号,的两侧,疑点第一准则:若在拐点嫌拐点的求法:)(为凸区间。否则,则该子区间为凹区间;若为正,在每个子区间的符号,判断干子区间。的增(减)区间分成若拐点嫌疑点将凹凸区间的求法:)(。及二阶导数不存在的点二阶导数为零的点拐点嫌疑点:)(曲线的凹凸性与拐点)xfxxfxfxxfxxfxxfxfdttytxdstyytxxdxydsxfyxfbaxfbaxfyaxxfxfxfyAyAxfAxfaxaxxx)()()()(1)(5)(),()(],[)4)()(lim)(lim2)()(lim)(lim13222的弧微分:曲线的弧微分:曲线弧微分)最小值。大值,最小者为函数的其中最大者为函数的最函数值的大小,较极值嫌疑点及端点处的所有极值嫌疑点,比内求出的最值:上连续的函数闭区间的垂直渐近线。为曲线则直线,或若垂直渐近线:)(的水平渐近线。为曲线则直线,或若水平渐近线:)(直渐近线曲线的水平渐近线和垂)为极大值点。极值嫌疑点:解:有多于一个极值)(且是极大值只有一个极值,)(且是极小值只有一个极值,)(没有极值正确的结论是:关于函数例,则点内可导,且有一个极值在设 的极值点必为,则内只有一个驻点在设 也是单调函数为单调函数,则设调函数单调函数的导数必为单下列命题正确的是:例5,0)(),,10(0;)(),10,5(;0)(),5,0(;0)(),0,(,10,5,0,)10(21031)(DCBA)(,)10()(20)(),()((D))(),()((C))()((B)(A)1232132230000xxfxxfxxfxxfxxxxxxxxfCxxxfxfxbaxfxfxxbaxfxfxfD).,22(,
本文标题:岩土工程师注册高等数学
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