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第二节可分离变量微分方程xxfyygd)(d)(可化为形式的一阶微分方程叫可分离变量的微分方程.可分离变量方程的解法:()d()dgyyfxx等号两边积分,得()dfxx①②所以称②为方程①的隐式通解.微分方程分离变量能否分离变量y2xy3x25xy0(x2y2)dxxydy=0y1xy2xy2y10xy练习xyyxy能不能不能能能能y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10xdx————————例1.求微分方程的通解.解:分离变量得2d3dyxxy两边积分得31lnyxC3lnlnyxC即1CCe令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0).2dd的通解求微分方程xyxy得两端同时积分,d2dxxyy,即2112eee||xCCxy,21eexCy.e2xCy则有例2.,原方程分离变量得xxyyd2d解:,12||lnCxy,e1CC若记例3.求下述微分方程的通解:udxdu2sin1解:令1,uxy则故有21sinuu即tanuxC解得tan(1)xyxC(C为任意常数)所求通解:,cos2dxduu成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程ddvmt00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得(0)mgkv此处利用初始条件,得1ln()Cmgk代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,(1)ktmmgvekmgkv例4.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.mgkv当t足够大时mgkvudxduxtan,即解:,yux令,yuxu则代入原方程得tanuxuuu分离变量cosddsinuxuux,两边积分cosddsinuxuux得lnsinlnln,uxCsinuCx即,故原方程的通解为sinyCxx本题是齐次方程dy/dx=f(y/x)的典型解法.(C为任意常数),uxytan.yyyxx例5.求微分方程的通解.内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件确定任意常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C1.解初值问题2d(1)d0xyxxy解:分离变量得2dd1yxxyx两边积分得即21yxC由初始条件得C=1,211yx(C为任意常数)故所求特解为(0)1y练习题2.解微分方程,2x方程两端同除以解:2d2,dyyyxxx方程变形为,yux令则有22uxuuu分离变量2dduxuux积分得1lnlnln,uxCu11dd1xuuux即代回原变量得通解即(1)xuCu()xyxCy(C为任意常数)2uudxdux即习题6-2(p335)1,4,8做于书上,1(3),4(3)交作业.
本文标题:可分离变量的微分方程
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