方程根的分布

二次函数1、二次函数解析式求法2、四个二次之间的关系，二次不等式、二次方程、二次函数、二次三项式之间的关系。尤其是二次不等式恒成立有关的问题。例1、已知a0，函数f(x)=-x2-ax+b在闭区间[-1,1]上的最大值为1，最小值为-1，求实数a、b3、二次函数闭区间上的最值问题2()(21)3(0)fxaxaxa例2、函数3在[-,2]有最大值1，求实数a的值。22(3)0.(1),(2),(3),xmxmmmm例1.已知方程方程有两个正根求的范围;方程有两个负根求的范围;方程有一个正根和一个负根求的范围.221212(3)401090:(1)30,3,00mmmmxxmmmxxm解依题意有即913,01,001.mmmmmmm或解得则有所以的范围是4、二次方程根的分布问题（实根分布）2(3)0.(1),(2),(3),xmxmmmm例1.已知方程方程有两个正根求的范围;方程有两个负根求的范围;方程有一个正根和一个负根求的范围.221212(3)401090(2)30,3,00mmmmxxmmmxxm依题意有即913,9,9.0mmmmmmm或解得则有所以的范围是12(3)0,0.xxmmm依题意有所以的范围是21220(0)40.()0baxbxcacxxaac:一元二次方程有一正一负根此时说明223501xxxmm例2.关于的方程有两个小于的实根，求的取值范围.9400(1)0mf991.40402350mmm91.40mm实数的取值范围是yxo11x2x2()235,(),3.4fxxxmfxx解:令则为对称轴开口向为的抛物线上28(1)701,1,xmxmm例3.若方程有一根大于一根小于求的取值范围.2:()8(1)7,()1,.16fxxmxmfxmx开口向解令则为对称轴为的抛物线上yxo11x2x(1)0f8170,mm即1.m解得1.mm实数的取值范围是200()axbxca一元二次方程的根的分布k两个根都小于02()0bkafkk两个根都大于,kk一个大于另一个小于koyxoyxkoyxk02()0bkafk()0fk000aaa:这是的情况,若则在方程两边同时,又转化说明乘以-1为的情况.2.(3)0xmxmm例4已知方程的两个的根都在(0,2)内，不同求的取值范围.2()(3),fxxmxm解:设则两个不同的根都在(0,2)内等价于,21090303432,20(0)2(2)323mmmmmmmfmmfm2Δ()4000091132,1.0323mmmmmm或解得得:.对称轴要注在区间内意2koyx1k2.(3)0xmxmm例5已知方程的一个根(-2,0)内，另一个根在(1,4)内，求的取值范围.2()(3),10(2)1000(0)0,,1(1)2204(4)5405fxxmxmmfmmfmmfmfmm解:依题意有得440,055mmm解得所以的取值范围是.:(2)0(0)0.(1)0(4)0ffff注意方注意二次向函数的开口,若是,则应口向下为:开oyxpmnq2.(3)024xmxmm例6已知方程的一个根小于，另一个根大于，求的取值范围.2()(3),(2)3204,,(4)5405fxxmxmfmmfm解:依题意有得45mm所以的取值范围是.:注意方向注意二次函数的开口,若是,开口向下则应为:oyx42oyx42(2)0.(4)0ff200()axbxca一元二次方程的根的分布12,kk两个根都在内12,,(,)xmnxpq000aaa:这是的情况,若则在方程两边同时,又转化说明乘以-1为的情况.2koyx1koyxpmnq121202()0()0bkkafkfk()0()0()0()0fmfnfpfq10xaxxaa2例7.关于的方程:,在0,2上仅有一解,求实数的取值范围.：在讨论函数在区间上的零点时注意闭两端点，一定要考虑是否为零点。31.5a12(,)kk内两个实根有且仅有一根在区间1koyx2k2x1x1koyx2k2x1x1koyx22xk1xoyx2k2x11xk1212()()0()()0,fkfkfkfk，或解出参数，求出另一根，验证.2.()(0),()0,,1.0.1.2.fxxxaafmmmABCDm练习设二次函数则函数在内零点的个数是()与的取值有关2:()1,,2fxxxax解二次函数的开口向上,对称轴为如图12xx1oy(0)0,(1)0,()0,10,fafafmm因则故有011,(1)0,mfm从而则()1,,1fxmmm所以函数在区间和上各有一个零点.B:,0a注意二次函数的和以及说明开口方向对称轴等条件.2.()1,().1...,1,1.bcfxaxbxcafxABCD例8若实系数二次函数满足则函数()只有一个零点且小于零点个数不确定没有零点有两个零点且一个小于一个大于2:,()bcbcgxxxaaaa解因条件中有与故可考虑函数,x1oy()()fxgx此时函数与函数零点个数相同,(),1,1.gx所以函数有两个零点且一个小于一个大于(1)11()0,()bcbcgaaagx因为又函数开口向上,如图,D:有时要利用条件进行转换,这就说明是化归思想.2.210,0,3(1),(2),(3),AxxxaxAaAaAa例9已知集合.当时求实数的取值范围;当为单元素集时求实数的取值范围;当为双元素集时求实数的取值范围.2:210,3,xxaa解转化为方程在区间上没有解有一解(含两个相同的解)和有两个不同的解时,求的取值范围.oxy32122()21,0,3,(),fxxxxyfxya设作出和的图像两图像的交点个数对应于方程根的个数,如图可知,(1)22aaa实数的取值范围是或.(2)212.aaa实数的取值范围是或(3)21aa实数的取值范围是.:,()()aaxafxyfxyaa遇到方程有几解求参变数的取值范围的题型时.一般都是把参变数和变量,变成的形式,然后分别作出函数和函数的图像,两图像的交点个数,即为方程根的个数,从而分别得到的取值范围.这种方说明分离数法叫形结合法.oxy3212210.()(3)1fxmxmxxm例已知的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数的取值范围.2:(3)101(1)0,.3mxmxmx解转化为方程至少有一个正根.当时符合21212(2)0,(3)409130,03,01.010mmmmmmxxmmmmxxm当时若方程有两个正根(含两个相同的正根),或则有即得若方程有一个正根和一个零根,不合题意.210.()(3)1fxmxmxxm例已知的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数的取值范围.1210,0.xxmm若方程有一个正根和一个负根,则1mm综合得实数的取值范围是.:.分类讨论要特别是二次函数,要注意说明不重不漏二次项系数是其否为零.