第八讲--容斥原理

1第8讲容斥原理一、知识点：容斥原理类型一：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数－既甲类又乙类的物体个数容斥原理类型类型二：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－甲类或乙类个数容斥原理类型类型三：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－（总体共有个数—既非甲类又非乙类个数）森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。”结果统计出森林中共有70种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。”这个统计对吗？现在我们用维恩图表示：要求鸟类与兽类共多少种,可以：+得出结论：鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类—蝙蝠这个故事反映的是一个数学原理，我们把这个数学原理称为包含排除原理，即容斥原理。鸟类80种兽类70种蝙蝠1种鸟类与兽类共？兽类70种鸟类—蝙蝠=79（种）2二、例题讲解：包含与排除问题其实也叫容斥问题。AABB（韦恩图）（1)容斥原理的第一种类型：例题1：四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组，参加舞蹈组的有23人，参加合唱团的有40人，既参加舞蹈组又参加合唱团的有15人，全班共有多少人？练习：1、四年甲班学生采集标本，采到昆虫标本的有26人，采到植物标本的有32人，两种豆采到的有10人，全班有学生多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？甲类乙类即甲又乙维恩图合唱团40人舞蹈组23人15人共？植物标本32人昆虫标本有26人10人共？如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲和乙的总个数=甲个数+乙个数－既是甲又是乙的个数。3文学社共38人数学组共34人？（1）班共有56人（2）容斥原理的第二种类型：既是甲又是乙的个数=甲类个数+乙类个数－甲和乙物体的总个数例题2：四年级（1）班有56名学生，参加文学社的有38人，参加数学兴趣小组的有34人，每人至少参加一个组，这个班两组都参加的有多少人？练习:1、四（2）班有64人，订阅《少年报》的有32人，订阅《小学生数学报》的有51人，两种报刊每人至少订一种，有多少名同学两种报刊都订了？2、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。3、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？？《少年报》32人《小学生数学报》51人有64人4（3）容斥原理的第三种类型：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲又乙的个数=甲个数+乙个数－（总体共有个数—既非甲又非乙个数）例题3：有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语。那么，100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人？练习:1、一个少儿俱乐部有92人，其中会下中国象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，这两种棋都不会下的有14人。这两种棋都会下的有多少人？2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？10人？懂英语75人懂俄语83人有90人共100人？懂英语75人懂俄语83人有90人中国象棋共70人国际象棋共42人？14人共92人5例题4：某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？练习：1、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法共有多少幅？2、实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？3、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？4、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？6作业：1、四（1）班每人至少选一节，其中选弹钢琴的有30人，选拉小提琴的有28人，则这个班既选弹钢琴又选拉小提琴有12人，四（1）班有多少人？2、四（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。两种作业都做完的有多少人？3、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？4、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？6、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？