函数的微分

第七节函数的微分一、微分的定义1、引例：设一正方形金属薄片，受温度的影响，其边长由0x变为xx0；求其面积的改变量？200)(xxS，200)()(xxxxS20202000)(2)()()(xxxxxxxSxxSS。设xxI012（是x的线性函数），)()(22xoxI，当||x很小时，1IS。一般地，若函数)(xfy满足一定条件，则函数的增量y可表示为：)(xoxAy，其中A是不依赖于x的常量，因而A是x的线性函数，且它与y之差为：)(xoxAy，是比x高阶的无穷小。因而当||x很小时，xAy。2、微分的定义定义：设函数)(xfy在某区间内有定义，0x及xx0在该区间内，如果函数的增量)()(00xfxxfy，可表示为：)(xoxAy，其中A是不依赖于x的常数，而)(xo是比x高阶的无穷小，那末称函数)(xfy在点0x是可微的，而xA叫函数)(xfy在点0x相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy=xA。微分的特性：（1）dy=xA是x的线性函数，若A0，则称dy是的y线性主部。（2）)(xoxAy，当||x很小时，dyy。3、函数)(xfy在点0x可微与函数)(xfy在点0x可导的关系函数)(xfy在点0x可微函数)(xfy在点0x可导即：)(xoxAy即：)(lim0/0xfxyxxxoAxy)()()(0/xxfxy（其中0)(lim0xxAxxoAxyxx))((limlim00)()()()(0/0/xoxxfxxxxfy故函数)(xfy在点0x可导。故函数)(xfy在点0x可微。定理1：函数)(xfy在点0x可导函数)(xfy在点0x可微，且其微分为xxfdy)(0/显然，函数)(xfy在任意点的微分，称为函数的微分，记为：xxfdy)(/。通常，把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即dx=x，于是函数)(xfy的微分可记为：dxxfdy)(/，则)(/xfdxdy，即函数的微分dy与自变量的微分dx的商等于函数的导数，故导数亦称为微商。二、微分的几何意义设点),(00yxM函数)(xfy的图形上的任意取定的一点，当自变量x有微小增量x时，得到曲线上的另一点),(00yyxxN，（如图）xMD，yDN。过点),(00yxM作曲线的切线MT，其倾角为，)(0/xfMDtgMDMP，即：MPdy。显然，y是曲线)(xfy上的点的纵坐标的增量，dy是曲线)(xfy的且线上的点的纵坐标的相应增量。三、基本初等函数的微分公式及微分的运算法则1、基本初等函数的微分公式导数公式微分公式1/)(xxdxxxd1)(xxcos)(sin/xdxxdcos)(sinxxsin)(cos/xdxxdsin)(cosxx2/sec)(tanxdxtgxd2sec)(xctgx2/csc)(xdxctgxd2csc)(xxxtansec)(sec/xdxxxdtansec)(secxctgxxcsc)(csc/xctgxdxxdcsc)(cscaaaxxln)(/adxaadxxln)(xxee/)(dxeedxx)(axxaln1)(log/dxaxxdaln1)(logxx1)(ln/dxxxd1)(ln2/11)(arcsinxxdxxxd211)(arcsin2/11)(arccosxxdxxxd2/11)(arccos2/11)(arctanxxdxxxd211)(arctan2/11)cot(xxarcdxxxarcd211)cot(2、函数的和、差、积、商的微分法则：设)(xuu，)(xvv，则：///)(vuvudvduvud)(//)(cucu（c为常数）cducud)(（c为常数）///)(uvvuuvudvvduuvd)(2///)(vuvvuvu2)(vudvvduvud3、复合函数的微分法则：设)(ufy，)(xu，则复合函数)]([xfy的微分为：dxxufdxydyx)()(///，而)(xu，dxxdu)(/，故duufdy)(/。4、一阶微分形式不变性对函数)(ufy，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式duufdy)(/保持不变。例1：求下列微分（1）2xy，求2xdy；（2）)12sin(2xy，求dy（3）)1ln(2xey，求dy；（4）xxycoslnarcsin2，求dy上一节下一节返回