微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“”，虽然我们对中值“”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.3．教学内容：§1拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足(ⅰ)在ba,上连续;(ⅱ)在),(ba内可导;(ⅲ))()(bfaf则),(ba使0)(f(1)注(ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.如:1º1010xxxy,(ⅱ),(ⅲ)满足,(ⅰ)不满足,结论不成立.2ºxy,(ⅰ),(ⅲ)满足,(ⅱ)不满足,结论不成立.3ºxy,(ⅰ),(ⅱ)满足,(ⅲ)不满足,结论不成立.(ⅱ)定理6.1中条件仅为充分条件.如:1,1)(22xQRxxQxxxf,f不满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)中任一条,但0)0(f.(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.例1设f在R上可导,证明:若0)(xf无实根,则0)(xf最多只有一个实根.证(反证法,利用Rolle定理)例2证明勒让德(Legendre)多项式nnnnndxxdnxP)1(!21)(2在)1,1(内有n个互不相同的零点.将Rolle定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange中值定理.定理6.2(拉格朗日(Lagrange中值定理)设f满足(ⅰ)在ba,上连续;(ⅱ)在),(ba内可导则),(ba使abafbff)()()((2)[分析]（图见上册教材121页图6-3）割线AB的方程为)()()()(axabafbfafy问题是证明),(ba,使)(f与割线在处导数xy相等即证0])()()()()([axabafbfafxf证作辅助函数],[),()()()()()(baxaxabafbfafxfxF注(ⅰ)Lagrange中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式(5)10,)()()((4)10),))((()()((3)),)(()()(hhafafhafababafafbfbaabfafbf另外,无论ba,还是ba,Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange中值定理应用更为广泛的原因之一.(ⅲ)Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广.(ⅳ)Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数],[),()()()()()(baxaxabafbfafxfxF然后验证)(xF在[],ba上满足Rolle定理的三个条件,从而由Rolle定理推出)(xF存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(xF.我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.1º注意到(2)式成立),(ba使得0)()()(abafbffabafbfxf)()()(在),(ba内存在零点])()()([xabafbfxf在),(ba内存在零点根据以上分析我们作辅助函数xabafbfxfxG)()()()((注意这种构造辅助函数的方法是常见的).题目的假设辅助函数满足Rolle定理条件件辅助函数导函数零点存在性题目所要结论2º辅助函数)()()()()()()(111)(afxfafbfaxabxfbfafxbaxH例3证明对,0,1hh有hhhh)1ln(1证[法一]令),1ln()(xxf在],0[h或]0,[h上利用Lagrange中值定理可证之.[法二]令,ln)(xxf在]1,1[h或]1,1[h上利用Lagrange中值定理可证之.推论1若f在区间I上可导,Ixxf,0)(,则f在I上为常数.推论2若f,g都在区间I上可导,且)()(,xgxfIx,则在I上,f与g仅相差一个常数,即存在常数C,使对Ix有Cxgxf)()(推论3(导数极限定理)设f在0x的某邻域)(0xU内连续,在)(00xU内可导,且)(lim0xfxx存在,则)(0xf存在,且)()(lim0xfxfxxo注(ⅰ)由导数极限定理不难得出区间),(ba上导函数)(xf不会有第一类间断点.(ⅱ)导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.例4证明恒等式2cotarctan,2arccosarcsinxarcxxx例5求0),ln(10,sin)(2xxxxxxf的导数解(ⅰ)先求0),(xxf;(ⅱ)利用推论3(先验证f在0x处连续)求)0(f.二单调函数函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.定理6.3设f在区间I上可导,则f在区间I上单调递增(减))0(0)(,xfIx定理6.4设f在区间),(ba内可导,则f在区间),(ba内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ))0(0)(),,(xfbax(ⅱ)在),(ba的任何子区间上,)(xf不恒等于0推论设f在区间I上可导,若)0(0)(,xfIx,f在区间I上严格单调递增(减).注(ⅰ)若f在区间),(ba内(严格)单调递增(减),且在点a右连续,则f在区间),[ba内(严格)单调递增(减).对],(ba上的函数有类似结论.(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出)(xf,再判定其符号.为此,需求出使得f取得正负值区间的分界点.当f连续时,这些分界点必须满足0)(xf.例6求31292)(23xxxxf的单调区间.例7证明0,1xxex.证令,1)(xexfx考察函数)(xf的严格单调性.§2柯西中值定理与不定式极限本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L＇Hospital法则.一柯西中值定理定理6.5(柯西(Cauchy)中值定理)设f,g满足(ⅰ)在ba,上都连续;(ⅱ)在),(ba内都可导;(ⅲ))(xf与)(xg不同时为零;(ⅳ))()(bgag则),(ba,使)()()()()()(agbgafbfgf(1)[分析]欲证(1),只须证0])()()()()()([xfxgagbgafbf且0)(g.令),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF由Rolle定理证之.注(ⅰ)Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广(当xxg)(情形).(ⅱ)Cauchy中值定理的几何意义（图见上册教材126页图6-5）:令],[)()(baxxgvxfu它表示uov平面上的一段曲线AB.弦AB的斜率即为(1)式右边,而(1)式左边xdvdugf)()(表示与x相对应的点))(),((fg处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB平行.(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy中值定理的辅助函数1)))]()(()()()()()([)()(agxgagbgafbfafxfxF;2))]()()][()([)]()()][()([)(agbgafxfagxgafbfxF;3))]()()[()()]()([)(agbgxfxgafbfxF;4)1)()(1)()(1)()(21)(xfxgbfbgafagxF例1设f在ba,()0ab上都连续,在),(ba内都可导,则),(ba,使abfafbfln)()()(证取xxgln)(,对f,g利用Cauchy中值定理即证之.二不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限1.00型不定式极限定理6.6(L＇Hospital法则Ⅰ)设(ⅰ)0)()(limlim00xgxfxxxx;(ⅱ)f,g在0x的某空心邻域)(00xU内可导且0)(xg;(ⅲ)Axgxfxx)()(lim0(或,).则)()(lim0xgxfxx存在且),或()()(lim0Axgxfxx注(ⅰ)定理6.6中0xx可换为xxxx,,0,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.(ⅱ)若)()(xgxf当0xx时仍属00型,且)(),(xgxf分别满足定理中)(xf，)(xg的条件,则可继续施用L＇Hospital法则Ⅰ,从而确定)()(lim0xgxfxx,即)()()()()()(limlimlim000xgxfxgxfxgxfxxxxxx且可以依次类推.(ⅲ)“一花独秀不是春”，L＇Hospital法则虽是计算极限的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.例2求)0,0(lim0baxbaxxx例3求xeexxx1sin11lim(提示:先令xt1)例4求)1ln()21(2210limxxexx(利用)1ln(2x等价于2x)0(x原式转化为2210)21(limxxexx)例5求xxex1lim0(提示:先令xt)2.型不定式极限定理6.7(L＇Hospital法则Ⅱ)设(ⅰ))()(limlim00xgxfxxxx;(ⅱ)f,g在0x的某空心邻域)(00xU内可导且0)(xg;(ⅲ)Axgxfxx)()(lim0(或,).则)()(lim0xgxfxx存在且),或()()(lim0Axgxfxx注定理6.7中0xx可换为,,,00xxxxxx等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.例6求)0(lnlimxxx例7求xxx3tantanlim2例8求3limxexx例9求)0(limnnen(提示:先证0)0(limxxex)注(ⅰ)当)()(lim0xgxfxx或)()()()(lim0xgxfnnxx不存在时,L＇Hospital法则不能用.如:1ºxxxxxeeeelim不能用L＇Hospital法则(xxxxeeee=11122xxee)2ºxxxxsinlim不能用L＇Hospital法则(xxxsin=1sin1xx)(ⅱ)只有不定式极限且满足L＇Hospital法则条件才能使用L＇Hospital法则求极限.3.其他类型不定式极限还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为-);01ln(1;011001lne(通分或提取公因式转化)