人教版数学必修一章末整合提升1

数学必修①·人教A版新课标导学第一章集合与函数概念章末整合提升1知识网络2要点归纳3专题突破4课时作业学案返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版知识网络返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版要点归纳返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版1．集合元素的互异性在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版3．集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.4．函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2⇔f(x1)＝f(x2)．(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．5．函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版专题突破返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．专题一⇨集合学习中的注意点剖析返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版1．注意正确理解、运用集合语言(1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝__________；导学号3234639(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝()A．(0,1)，(0,2)B．{(0,1)，(0,2)}C．{y|y＝1或y＝2}D．{y|y≥1}∅D[分析]首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版[解析](1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝∅.(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝M.故选D.返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版『规律方法』学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版2．注意元素的互异性已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值.导学号3234639[解析]由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0.当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2.同理a≠－1.故a＝0.返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版『规律方法』集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版3．注意空集的特殊性已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－4x＋p＝0}，求∁UA.导学号3234639[分析]符号∁UA隐含了A⊆U，注意不要忘记A＝∅的情形．[解析]当A＝∅时，方程x2－4x＋p＝0无实数解．此时Δ＝16－4p＜0，∴p＞4，∴∁UA＝∁U∅＝U＝{1,2,3,4,5}．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版当A≠∅时，方程x2－4x＋p＝0的两个根x1，x2(x1＜x2)，必须来自于U.由于x1＋x2＝4，所以x1＝x2＝2或x1＝1，x2＝3.当x1＝x2＝2时，p＝4，此时A＝{2}，∁UA＝{1,3,4,5}；当x1＝1，x2＝3时，p＝3，此时A＝{1,3}，∁UA＝{2,4,5}．综上所述，当p＞4时，∁UA＝{1,2,3,4,5}；当p＝4时，∁UA＝{1,3,4,5}；当p＝3时，∁UA＝{2,4,5}．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版『规律方法』求集合的补集时，不要忘记∅的情形．分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版1．求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．[注意]①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域是自变量x的允许取值范围．专题二⇨函数概念与性质返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版(1)函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A．(－∞，13)B．(13，1)C．(－13，13)D．(－∞，13)∪(13，1)(2)已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A．[0，52]B．[－1,4]C．[－5,5]D．[－3,7]导学号3234639DA返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版[解析](1)由题意得，1－x＞0，3x－1≠0，解得x＜1且x≠13.(2)由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，故－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤52.返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版2．二次函数的单调性二次函数的单调性关键在于开口方向和对称轴与区间的位置关系．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围.导学号3234639(1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]；(2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版[分析]此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．[解析]函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a.(1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1，∴a＝2.(2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.(3)由于函数在[－1,2]上单调，应满足1－a≤－1或1－a≥2，∴a≥2或a≤－1.返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版3．二次函数的区间最值解决二次函数的区间最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可解决问题．下面通过例题详细分析此类问题的解法．(1)轴定区间定当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值.导学号3234639[分析]作出函数图象在所给范围的草图(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版[解析]作出函数的图象如图，当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.[点评]本题已知二次函数在自变量x的给定区间[m，n]上的图象是抛物线的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版(2)轴动区间定已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，求f(x)在[－5,5]上的最大值与最小值.导学号3234639[分析]区间定，对称轴不定时，一般解法为：分别把对称轴平移至定区间的左侧、右侧及之间进行讨论，从而确定最值是在端点处取得还是在顶点处取得．本题中函数的对称轴为直线x＝－a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[－5,5]的相对位置进行分类讨论．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版[解析]f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5,5]，对称轴为直线x＝－a.(1)当－a＜－5，即a＞5时，函数f(x)在[－5,5]上单调递增，如图(1)，∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.当－5≤－a＜0，即0＜a≤5时，如图(2)．返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2.(2)当0≤－a≤5，即－5≤a≤0时，如图(3)，∴f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2.(4)当－a＞5，即a＜－5时，如图(4)，返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版∴f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a，f(x)min＝f(5)＝27＋10a.综上知，f(x)max＝27＋10aa＞0，27－10aa≤0，f(x)min＝27＋10aa＜－5，2－a2－5≤a≤5，27－10aa＞5.返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版『规律方法』(1)函数f(x)在[a，b]上单调递增时，f(x)max＝f(b)；函数f(x)在[a，b]上单调递减时，f(x)max＝f(a)；函数f(x)在[a，b]上不是单调函数时，找出图象上最高点的纵坐标，即为函数f(x)的最大值，图象上最低点的纵坐标，即为函数f(x)的最小值．(2)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解，常见的有以下四种情况：①对称轴与区间[m，n]均是确定的；②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；返回导航第一章集合与函数概念数学必修①·人教A版③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定；④动轴动区间，即对称轴不确定，区间[m，n]也不确定．以上四种情况，对于①可数形结合，较易解决．对于②和③，应按对称轴在区间的左侧、内部、右侧分三类，结合其图象特征分别求解．④可让区间不动，按对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论，有时在区间内部还可分为两种情况：m≤x≤m＋n2和m＋n2＜x≤n进行讨论．返回导航第一章集