工程力学-材料力学-第13章动能定理陈小峰

功是代数量§13-1力的功常力在直线运动中的功单位:J（焦耳）;1J=1N·msFsFWcos1.力的功1）常力的功元功wFrd即变力在曲线运动中的功dscosFW2）变力的功rFwWMMMMd·212112F21~MM力在路程上的功为xyzFFiFjFkrxiyjzkdddd记)ddd(2112zFyFxFWzyxMM则功的解析表达式3）合力的功inMMnMMMMnMMMMR212121122121212121)(rFrFrFrFFFrF作用于质点上的力系的合力在任一路程中所做的功，等于各分力在同一路程中所做功的代数和。)(2112iiizzgmW1）重力的功质点系iiCzmmz由质点系重力所做的功只与质心的始、末位置有关，而与质心走过的与路径无关。)(2112CCzzmgW得)(d211221zzmgzmgWzzmgFFFyyx02.常见力的功质点质点系重力所做的功，等于质点系的重力的大小与其质心在始、末位置高度差的乘积。2）弹性力的功弹簧刚度系数k(N/m)0()rFkrle弹性力弹性力的功为rFWAAd211221d)(0AArrelrk211()()22rrerrrrrrrrrddddd因022011,lrlr式中rlrkWrrd)(01221得)(2222112kW即弹性力所做的功只与质点的始、末位置有关，与质点运动的路径无关。3）万有引力的功)11(122112rrmGmW万有引力所做的功仅与质点的始、末位置有关，与质点运动的路径无关。12d12zMW4）作用在定轴转动刚体上的力及力偶的功)(1212zMW则zM若常量由RFMtz得dzMw从角转动到角过程中力的功为12Fo1FFzzxyorFωFrFFrFFrFnFFzFzFbAttwFrFsFRddd若在转动刚体上作用一力偶，设其力偶矩矢为M，其在z轴上的投影为Mz，则力偶所做的功仍可用上式计算。5）摩擦力的功212112ssNssdsFfFdsW若摩擦力为常量，则sFfWN12摩擦力所做与质点运动的路径有关。摩擦力不一定总做负功，有时也做正功。§13-2质点与质点系的动能221iimT2、质点系的动能1、质点的动能221mT单位：J（焦耳）动能是标量,恒取正值iCimvvmTi22212122222212121iiiiiirmrmvmT（1）平移刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能221zJT221CmvT222)(2121mdJJTCp即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。222121CCJmvT得速度瞬心为P（3）平面运动刚体的动能例13-2如图所示，滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度ω绕A转动。试求当杆AB与竖直线的夹角为φ时，杆的动能。trddmFtdd将两端点乘21(),,2mmFrwddd由于§13-3动能定理1、质点的动能定理wm)21(d2mFrdd得质点动能定理的微分形式:质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。1221222121Wmm质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的变化等于作用在质点上力的功。积分之，有2、质点系的动能定理质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系上所有力所做元功的和。由iiiwm)21(d2iiiwm)21(d2求和iwTd质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用在质点系上所有力在这一过程中所作做功的和。积分之，有iwTT123、理想约束光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零。称约束力作功等于零的约束为理想约束。例13-6卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱向上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度和加速度。SgSinmMW·21201T22222222212112)21(2121)(21RmmRmT轮C与轮O共同作为一个质点系解：1RS)32()(221112mmRSSingRmMC)32(4·2122mmSSingmMC)(a2211,RRCC1212TTWCCCCSingmRMamm·)32(21212112112)32()(2RmmSinRgmMaC式(a)是函数关系式，两端对t求导，得01TABABClCC23llBOBBAB,OBAB例13-6：均质杆OB=AB=l,m在铅垂面内；M=常量，初始静止，不计摩擦。2)cos1(2lmgMW解：求：当A运动到O点时，？AlABA2·2221COBABmTTT12TTW)cos1(321mglMmlABlABA2·2234ABml2022121OBABCJJtWPd§13-4功率、功率方程、机械效率由，得·WFrdtrPFFvFvtdd1、功率：单位时间力所做的功称功率即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。zzMtMtWPddd单位W（瓦特），W=1J/S作用在转动刚体上的力的功率为2、功率方程niiniPtWtT112ddd功率方程：质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。输入功率：电动机的功率等无用功率（损耗功率）：摩擦力作负功，碰撞损失的功率等有用功率（输出功率）：必须付出的功率无用有用输入PPPtTdd或tTPPPdd无用有用输入3、机械效率机械效率输入有效PP有效功率tTPPdd有用有效多级传动系统n2,1例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系统的运动微分方程。RS解：2dd21tsmT22dd21tsRJmtsksptsmgpdd,dd弹性力重力2dd21tJ弹性力重力pptTddtskstsmgtstsRJmdddddddd222ksmgtsRJm222dd,0xSkxkxkmgtxRJm0222dd0dd222kxtxRJm令为弹簧静伸长，即mg=k,以平衡位置为原点00§13-5势力场.势能.机械能守恒定律1.势力场00MMMxyzMVFrFxFyFzdddd势力场：力场的功只与力作用点的始、末位置有关，与路径无关。2.势能0M称零势能点,,FFxyz力场（1）重力场中的势能00zzmgzmgVZZd20220krFVrrd（2）弹性力场中的势能则为零势能点,0022kV（3）万有引力场中的势能取零势能点在无穷远1rrmGmV2100CCiiizzmgzzgmV重力场（4）质点系的势能质点系从某位置运动到零势能位置时，各有势力所做功的代数和称为质点系在该位置的势能。3.有势力的功2112VVW4.机械能守恒定律由1212WTT机械能守恒定律：质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变。此类系统称保守系统。2112VVW及2211VTVT得机械能：质点系在某瞬时的动能和势能的代数和例13-9如图所示系统中，均质杆AB的质量为m=10kg，长l=60cm，两端与不计重量的滑块A和B铰接，滑块可在光滑槽内滑动，弹簧的刚度系数为k=360N/m。在图示位置，系统静止，弹簧的伸长为20cm，然后无初速释放系统，求当杆AB到达竖直位置时的角速度。解：一、重要物理量机械运动的度量力作用的度量物体惯性的度量动量动量矩冲量力、力系的主矢、力矩、力系的主矩动能功功率质量、转动惯量§13-6普遍定理的综合应用举例例13-13如图所示机构的B轮受一矩为M的常力偶作用，使系统由静止开始运动。物块A质量为m1，均质滑轮B与做纯滚动的均质滚子C半径均为R，质量均为m2；斜面的倾角为α，弹簧刚度系数为k，开始时系统处于静平衡状态。试求物块A下降h时:（1）物块A的加速度；（2）轮B和滚子C之间的绳索张力；（3）斜面与滚子间的摩擦力。