工程力学

第1章静力学基本概念与物体的受力图第1章静力学基本概念与物体的受力图1.1基本概念1.2力矩与力偶1.3约束与约束反力1.4物体的受力图思考与练习第1章静力学基本概念与物体的受力图1.1基本概念1.1.1力的概念力是物体间相互的机械作用。物体间相互的机械作用大致可分为两类:一类是物体直接接触的作用，另一类是场的作用。这种作用使物体的运动状态或形状尺寸发生改变。物体运动状态的改变称为力的外效应或运动效应，物体形状尺寸的改变称为力的内效应或变形效应。实践证明，力对物体的效应取决于力的三要素，即力的大小、方向和作用点。在国际单位制中，力的单位为N或kN，1kN=103N。第1章静力学基本概念与物体的受力图力是一个既有大小又有方向的量，称为矢量。矢量可用一具有方向的线段来表示，如图1.1所示。线段AB的起点（或终点）表示力的作用点，线段AB的方位和箭头指向表示力的方向，沿力的方向画出的直线，称为力的作用线，而线段AB长度则按一定的比例表示力的大小。本书中用黑体字母表示矢量，如F，用普通字母表示力的大小，如F。第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.1100NABF第1章静力学基本概念与物体的受力图若力F在平面Oxy内，其矢量表达式为F=Fx+Fy=Fxi+Fyj（1.1）式中，Fx、Fy分别表示力F沿平面直角坐标轴x、y方向上的两个分量；Fx和Fy分别为力F在平面直角坐标轴x、y上的投影；i、j分别为直角坐标轴x、y上的单位矢量。如图1.2所示，由力F的起点A和终点B分别作x轴的垂线，垂足分别为a、b，线段ab冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影，用Fx表示，即Fx=±ab（1.2）第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.2yFyabFyAFFxFxabOBx第1章静力学基本概念与物体的受力图投影的正负号规定如下:若从a到b的方向与x轴正向一致，则取正号；反之则取负号。同样，力F在y轴上的投影为''baFy如图1.2所示，力F在x轴和y轴的投影分别为sincosFFFFyx（1.4）由此可见，力在坐标轴上的投影是代数量。（1.3）第1章静力学基本概念与物体的受力图若已知力F在平面直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则该力的大小和方向为xyyxFFFFFtan22式中，α表示力F与x轴所夹的锐角，F的指向由Fx和Fy的正负来确定。（1.5）第1章静力学基本概念与物体的受力图作用于一个物体上的若干个力称为力系。若两个力系对物体的作用效应完全相同，则这两个力系称为等效力系。如一个力与一个力系等效，则此力称为该力系的合力，而该力系中的各力称为合力的分力。把各分力等效代换成合力的过程称为力系的合成，把合力等效代换成各分力的过程称为力的分解。平衡是指物体相对于地球处于静止或匀速直线运动的状态。如果物体在一力系作用下处于平衡状态，则该力系称为平衡力系。第1章静力学基本概念与物体的受力图工程力学的研究对象往往比较复杂，在对其进行力学分析时，首先必须根据研究问题的性质，抓住其主要矛盾，忽略其次要因素，对其进行合理的简化，科学地抽象出力学模型。在分析物体的运动规律时，如果物体的形状和大小与运动无关或对运动的影响很小，则可把物体抽象为质点。质点是指具有质量而形状、大小可忽略不计的力学模型。在研究物体的平衡问题时，若物体的微小变形对平衡问题影响很小，则可把物体当作刚体。刚体是指受力时保持形状、大小不变的力学模型。在分析强度、刚度和稳定性问题时，由于这些问题都与变形密切相关，因此即使是极其微小的变形也必须加以考虑，这时就必须把物体抽象为变形体这一力学模型。第1章静力学基本概念与物体的受力图1.1.2力的基本性质人们在长期的生活和生产活动中，经过实践-认识-再实践-再认识的过程，总结出了许多力所遵循的规律，其中最基本的性质有以下几条。这些性质的正确性已被实践所验证，为大家所公认，所以也称为静力学公理。性质一作用于刚体上的两个力使刚体处于平衡状态的充要条件是:这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，如图1.3所示。用矢量表示，即为FA=-FB(1.6)对于变形体，这个条件是必要的，但不是充分的。第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.3ABFBFA第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.4FFAB第1章静力学基本概念与物体的受力图性质二在作用于刚体的任意力系上，加上或者减去一个平衡力系，都不会改变原力系对刚体的作用效果。由此可得如下推论:推论1刚体上的力可沿其作用线移到该刚体上的任意位置，并不改变该力对该刚体的作用效应。如图1.5所示，作用于小车A点的推力F沿其作用线移到B点，得拉力F′，虽然推力变为拉力，但对小车的作用效应是相同的。由此可见，力的作用点对刚体来说已不是决定力作用效应的要素。因此，作用于刚体上的力的三要素是力的大小、方向和作用线。第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.5＝FABABF第1章静力学基本概念与物体的受力图性质三作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来确定，如图1.6(a)所示。其矢量表达式为FR=F1+F2（1.7）为方便起见，在利用矢量加法求合力时，可不必画出整个平行四边形，而是从A点作矢量F1，再由F1的末端B作矢量F2，则矢量AC即为合力FR。这种求合力的方法称为力的三角形法则，如图1.6(b)所示。显然，若改变F1、F2的顺序，其结果不变，如图1.6(c)所示。第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.6F2FRF1AF1FRF2F2F1AFR(a)(b)(c)ABCBC第1章静力学基本概念与物体的受力图力的平行四边形法则是力系合成的法则，也是力系分解的法则。该法则表明了最简单力系简化的规律，它也是复杂力系简化的基础。由上可推出n个力作用的情况。设一刚体上有F1,F2，…,Fn共n个力作用，力系中各力的作用线共面且汇交于同一点（称为平面汇交力系），根据性质三和式（1.7）将此力系合成为一个合力FR，此合力应为FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi（1.8）可见，平面汇交力系的合力矢量等于力系各分力的矢量和。第1章静力学基本概念与物体的受力图将式（1.8）分别向x、y轴投影可得FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy(1.9)式（1.9）表明，力系的合力在某一直角坐标轴上的投影等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和，此即为合力投影定理。第1章静力学基本概念与物体的受力图合力的大小和方向为xyxxRxRxRFFFFFFFtan)()()()(2222（1.10）式中，α表示力FR与x轴所夹的锐角，FR的指向由∑Fx和∑Fy的正负来确定。第1章静力学基本概念与物体的受力图推论2刚体受三个共面但互不平行的力作用而平衡时，此三力必汇交于一点。此定理说明了不平行的三力平衡的必要条件，而且，当两个力的作用线相交时，可用来确定第三个力的作用线方位。证明刚体上A、B、C三点，分别作用着使该刚体平衡的三个力F1、F2、F3，它们的作用线都在一个平面内但不平行，F1、F2的作用线交于O点。根据力的可传性原理，将此两个力分别移至O点，则此两个力的合力FR必定在此平面内且通过O点，而FR必须和F3平衡，由二力平衡的条件可知，F3与FR必共线，所以F3的作用线亦必过F1、F2的交点O，即三个力的作用线汇交于一点。如图1.7所示。第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.7F3COF1AF2FRBF2F1第1章静力学基本概念与物体的受力图性质四两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，沿同一条直线，分别作用在这两个物体上。此定律概括了自然界中物体间相互作用关系，表明一切力总是成对出现的，揭示了力的存在形式和力在物体间的传递方式。特别要注意的是，必须把作用与反作用定律、二力平衡公理严格地区分开来。作用与反作用定律是表明两个物体相互作用的力学性质，而二力平衡公理则说明一个刚体在两个力作用下处于平衡时两力满足的条件。第1章静力学基本概念与物体的受力图1.2力矩与力偶1.2.1力矩人们从生产实践活动中得知，力不仅能够使物体沿某方向移动，还能够使物体绕某点产生转动。例如人用扳手拧紧螺母时，施于扳手的力F使扳手与螺母一起绕转动中心O转动，由经验可知，转动效应的大小不仅与F的大小和方向有关，而且与转动中心点O到F作用线的垂直距离有关，因此，在F作用线和转动中心点O所在的同一平面内(如图1.8所示)我们将点O称为矩心，点O到F作用线的垂直距离d称为力臂，力使物体绕转动中心的转动效应，就用力F的大小与力臂d的乘积并冠以适当的正负号来度量,该量称为力对O点之矩，简称力矩，记作MO(F)，即MO(F)=±Fd（1.11）第1章静力学基本概念与物体的受力图平面内的力对点之矩是一个代数量，其正负号规定为:若力使物体绕矩心逆时针方向转动时，则力矩为正；反之，力矩为负。力矩的常用单位为N·m或kN·m。由力矩的定义可知，力矩有以下性质:（1）力对点之矩的大小，不仅取决于力的大小,还与矩心的位置有关。（2）力对任意点之矩的大小，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。（3）力的大小为零或力的作用线通过矩心时，力矩为零。（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.8OFd第1章静力学基本概念与物体的受力图设物体上作用有一个平面汇交力系F1,F2,…,Fn其合力为FR。由于合力与力系等效，因此合力对平面内任意点之矩等于力系中所有分力对同一点之矩的代数和，即MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=MO(Fi)这就是合力矩定理。对于有合力的其他力系，合力矩定理同样成立。当力矩的力臂不易求出时，常将力正交分解为两个易确定力臂的分力，然后应用合力矩定理计算力矩。第1章静力学基本概念与物体的受力图【例1.1】如图1.9所示，力F=150N,作用在锤柄上，柄长l=320mm，试求(a)、(b)两种情况下力F对支点O的力矩。图1.9AFhOOhAF30°(a)(b)第1章静力学基本概念与物体的受力图解在(a)种情况下，支点O到力F作用线的垂直距离h=l，力F使锤柄绕O点逆时针转动，则力F对OMＯ(F)=Fh=150×320=48000N·mm=48N·m在(b)种情况下，支点O到力F作用线的垂直距离h=lcos30°，力F使锤柄绕O点顺时针转动，则力F对OMＯ(F)=-Fh=-150×320×cos30°=-41568N·mm=-41.568N·m第1章静力学基本概念与物体的受力图【例1.2】一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的法向压力Fn=1400N的作用，如图1.10所示，已知压力角（作用在啮合点的力与啮合点的绝对速度之间所夹的锐角）α=20°,节圆直径D=0.12m，求法向压力Fn对齿轮轴心O之矩。解用两种方法计算。(1)用力矩定义求解，如图1.10(a)所示。mNDFrFFMnnnO93.7820cos212.01400cos2)(0第1章静力学基本概念与物体的受力图(2)用合力矩定理求解，如图1.10(b)所示。将力Fn在啮合点处分解为圆周力Ft=Fncosα和径向力Fr=Fnsinα，由合力矩定理，mNDFFMFMFMtrOtOnO93.78212.020cos140002)()()(第1章静力学基本概念与物体的受力图图1.10Fnr0ODFnFtFrOD(a)(b)第1章静力学基本概念与物体的受力图1.2.2力偶图1.11FFFFFOFFFd(a)(b)(c)(d)第1章静力学基本概念与物体的受力图我们把这一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系称为力偶，用符号(F,F′)表示。力偶两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，如图1.11（d）所示，力偶的两力作用线所决定的作用面称为力偶作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。力偶对物