高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

-1-高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点{0),(0),(002001yxfyxf方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D,-2E);③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2020b)-(ya)-(x。（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.-2-轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围─axa，─byb|x|a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0))0,2(pF准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1-3-【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0)的焦点坐标是(2p,0)，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0)的焦点坐标是(-2p,0)，准线方程x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0)的焦点坐标是(0,2p)，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-2p），准线方程y=2p，开口向下.（2）抛物线2y=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p或2sin2pAB(α为直线AB的倾斜角)，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径).五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x′O′y′中的坐标是),(''yx.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则kyyhxx''或kyyhxx''叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：-4-方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1(±c+h,k)x=±ca2+hx=hy=k22h)-(xb+22k)-(ya=1(h,±c+k)y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1(±c+h,k)x=±ca2+kx=hy=k22k)-(ya-22h)-(xb=1(h,±c+h)y=±ca2+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x=-2p+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k)x=2p+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h,2p+k)y=-2p+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k)y=2p+kx=h六、椭圆的常用结论：1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.7.椭圆22221xyab(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、-5-N两点，则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab；【推论】：1、若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab。椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2、过椭圆22221xyab(a＞0,b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.3、若P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF，则tant22accoac.4、设椭圆22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.5、若椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.7、椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.8、已知椭圆22221xyab（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab.-6-9、过椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.10、已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa.11、设P点是椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122tan2PFFSb.12、设A、B是椭圆22221xyab（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别