高中数学圆锥曲线选填精练(附答案解析)

第1页（共22页）圆锥曲线选填练习一．选择题（共8小题）1．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2D．﹣2．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．B．或C．或D．3．如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．34．已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）A．B．C．D．第2页（共22页）5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．7．设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（）A．B．C．D．28．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．二．填空题（共7小题）9．已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为．10．已知点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，经过点A（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于两点M，N，若∠MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．第3页（共22页）11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．12．设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围．13．直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为．14．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．15．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．第4页（共22页）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2D．﹣【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故选：D．第5页（共22页）【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．2．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．B．或C．或D．【分析】因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A，B两点同在椭圆内或椭圆外”求解．【解答】解：根据题意有：A，B两点同在椭圆内或椭圆外∴或∴或故选：B．【点评】本题主要通过直线与椭圆的位置关系，来考查点与椭圆的位置关系．当点（x0，y0）在椭圆内，则有，点（x0，y0）在椭圆外，则有第6页（共22页）3．如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又﹣=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有•=﹣1，第7页（共22页）又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，可得﹣=1，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立．另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，由双曲线的定义有，|CE|﹣|CF|=|AE|﹣|AF|=2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2=（m+2a）2，代入2a=m﹣n，化简可得m=3n，又m﹣n=2a得n=a，m=3a，在直角三角形EAF中，m2+n2=（2c）2，即为9a2+a2=4c2，可得e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代第8页（共22页）入检验，属于难题．4．已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）A．B．C．D．【分析】双曲线，右焦点F（5.0），A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），由P，A1，M三点共线，知，故m=，由P，A2，N三点共线，知，故n=，由，和，能求出a的值．【解答】解：∵双曲线，右焦点F（5，0），A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x，y），M（a，m），N（a，n），∵P，A1，M三点共线，∴m=，∵P，A2，N三点共线，∴，∴n=，∵，∴，第9页（共22页）∴，，，∴=（a﹣5）2+=（a﹣5）2+，∵，∴（a﹣5）2+=0，∴25a2﹣90a+81=0，∴a=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=x的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=即可求出离心率．【解答】解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（﹣c，0），渐近线方程为y=±x第10页（共22页）根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到y=x的距离，d===b，又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=×2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2﹣a2）=c2，∴3c2=4a2，，即e2=，e=故选：B．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式．6．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．【分析】y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22）A，B的中点坐标是（，）因为A，B关于直线y=x+m对称，所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，由此能求得m．【解答】解：y1=2x12，y2=2x22，A点坐标是（x1，2x12），B点坐标是（x2，2x22），A，B的中点坐标是（，），因为A，B关于直线y=x+m对称，第11页（共22页）所以A，B的中点在直线上，且AB与直线垂直=+m，，x12+x22═+m，x2+x1=﹣，因为，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=，代入得，求得m=．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．7．设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（）A．B．C．D．2【分析】由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．【解答】解：不妨设OA的倾斜角为锐角∵向量与同向，∴渐近线l1的倾斜角为（0，），∴渐近线l1斜率为：k=＜1，∴==e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2第12页（共22页）∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∴|OB|﹣|OA|=|AB|，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列∴|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|∴在直角△OAB中，tan∠AOB=，由对称性可知：OA的斜率为k=tan（﹣∠AOB），∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴==e2﹣1=，∴e2=，∴e=．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定|OA|=|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．8．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．【分析】假设|F1P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率．【解答】解：不妨设P在左支上，|F1P|=x，则|F2P|=2a+x第13页（共22页）∵OP为三角形F1F2P的中线，∴根据三角形中线定理可知x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）整理得x（x+2a）=c2+5a2由余弦定理可知x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2∴3a2=c2∴故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二．填空题（共7小题）9．已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右