高中数学必修四三角函数

高中数学必修四第一章三角函数1.1角的概念与弧度制•1.1.1角的概念与推广),(正角负角oxy的终边的终边正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角1.1角的概念与弧度制•1.1.2第几象限角•角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．•第一象限角的集合为•第二象限角的集合为•第三象限角的集合为•第四象限角的集合为36036090,kkk36090360180,kkk360180360270,kkk360270360360,kkk练习题•例1：•⑥•变式1•D练习题•例2：•提示：作出各角的终边•（1）第一象限角；（2）第四象限角•（3）第二象限角；（4）第三象限角•变式1•B（由α的表示法，确定-α的表示法，得出-α的范围）1.1角的概念与弧度制•1.1.2第几象限角•终边在轴上的角的集合为•终边在轴上的角的集合为•终边在坐标轴上的角的集合为•与角终边相同的角的集合为180,kk18090,kk90,kk360,kk练习题•例3：•提示：首先与α终边相同的角，为求满足条件的θ，取适当的整数即可•答案：（1）第一象限角；（2）-1035°与-675°•变式3•答案：（1）第二象限角；（2）-930°与-570°1.1角的概念与弧度制•1.1.2第几象限角•已知α是第几象限角，确定所在象限的方法：•先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．*nnn练习题•误区警示P4若α是第三象限角，则是第几象限角？答案：第一或第四象限角3练习题1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩CB．B∪C=CC.ACD．A=B=C答案：B练习题2．下列各组角中，终边相同的角是（）A．与B．C．D．2k)(2Zkk)(3k3Zkk与)14()12(kk与)(Zk)(66Zkkk与1.1角的概念与弧度制•1.1.3弧度制•弧度的概念：•长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．•半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是︱α︱•角度制与弧度制换算：•（1弧度=57.3度）︱α︱=lr180°=πrad（弧度的单位）23601180180157.3练习题例1+变式1：提示：直接利用例2+误区警示（用弧度制表示终边相同角）同一式子单位不能混用！！！1180180157.31.1角的概念与弧度制•1.1.3弧度制•弧长公式：•若扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S•则扇形弧长公式•扇形周长公式•扇形面积公式lr2Crl21122Slrr练习题例3+变式3变式3利用二次函数求极值答案：当r=10cm，取面积最大值=100cm2，此时圆心角θ=2rad练习题已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．1sin21sin22sin1.2任意角的三角函数•1.2.1三角函数的定义•设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是•则•三角函数在各象限的符号：•第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．220rrxysinyrcosxrtan0yxx1.2任意角的三角函数•三角函数在各象限的符号：•第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．xyosinxyocosxyotan++++++––––––aaa1.2任意角的三角函数熟记特殊角的三角函数值！！！P8α---弧度数---sinα,cosα,tanα1.2任意角的三角函数例1：提示：确定P在第几象限——分情况讨论a值——三角函数定义求值——结论变式1：sinα=-4/5cosα=3/5tanα=-4/31.2任意角的三角函数例2：根据三角函数在各象限的符号规律变式2：答案：四1.2任意角的三角函数例3：提示：注意tanx自身对x的要求变式3：误区警示：1.2任意角的三角函数下列各三角函数值中，取负值的是（）;Asin(-6600)B.tan(-1600)C.cos(-7400)D.sin(-4200)cos570答案：D1.2任意角的三角函数α角是第二象限的角，││=,则角属于：A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限.答案：C2cos2cos21.2任意角的三角函数已知α、β是第二象限的角，且，则（）A.;B.；C.；D.以上都不对.答案：Bcoscossinsintantan1.2任意角的三角函数•1.2.2单位圆与三角函数线sincostan练习题•例1+变式1：•例2+变式2：•（利用π/4的三角函数线做参照）•*例3+变式3：•误区警示！1.2任意角的三角函数•1.2.3同角三角函数的基本关系POxyM221sincos12222sin1cos,cos1sinsin2tancossinsintancos,costan练习题•例1+变式1：•能否建立sinα，cosα的方程——联想条件——（平方/商数关系）——构造方程组求解•*例2+变式2：•先化简根式，化切为弦，后通分，再去掉根号•例3+变式3：•sin2α+cos2α=1—1-cos2α=sin2α—（1-cosα）·（1+cosα）=sinα·cosα——sincos1cos1sin练习题•例4+变式4：•建立关于sinα,cosα的二元一次方程组，求出sinα,cosα，再求tanα.•已知sinα+cosα，sinα·cosα，sinα-cosα三个式子，已知其一，可以求另外两个——“知一求二”•(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα•(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα•求sinα+cosα/sinα-cosα，注意判断符号！！！练习题•误区警示：•使用开方关系——注意正负号选取——根据角α所在象限。1.2任意角的三角函数•1.2.4三角函数的诱导公式诱导公式四sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。函数名称不变，符号看象限．1.2任意角的三角函数•1.2.4三角函数的诱导公式※记忆方法：正弦与余弦互换，符号看象限．练习题•例1+变式1•利用诱导公式把任意角三角函数的转化为锐角的三角函数求解。•如果是负角，一般先将负角的三角函数转化为正角的三角函数（并要准确记忆特殊角的三角函数值）•例2+变式2•把所给值的式子进行化简，结合被求值式子的特点观察所给值的式子与被求式的特点，找出内在联系，特别是角之间关系，恰当选择诱导公式。练习题•例4+变式4：•1）诱导公式：将任意角三角函数——锐角的三角函数•2）切画弦•3）注意“1”的变式应用：•1=sin2α+cos2α=tan（π/4）练习题•方法技巧——•转化与化归思想在求三角函数式值中应用•“负化正，大化小”1.3三角函数图像与性质{正，余弦}图象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性增函数]22,22[kk减函数]232,22[kk增函数]2,2[kk减函数]2,2[kko1.3三角函数图像与性质{正切}y=tanx图象22xyo2323定义域值域},2|{NkkxxR奇偶性奇函数周期性T单调性))(2,2(Zkkk练习题例1+变式1：•五点法作简图：•y=sinx的图像在[0,2π]上的最高点、最低点和x轴的交点例2+变式2求周期法：1.定义法f(x)=f(x+T)2.对y=Asin(wx+Φ)——T=y=|Asin(wx+Φ)|使用图像法解决。2练习题例3+变式3：例4+变式4：方法技巧：数形结合思想在三角函数图像中应用1.3三角函数图像与性质函数的图象（A0,0))sin(xAyxysin第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1101)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy1.3三角函数图像与性质函数的图象（A0,0))sin(xAy第二种变换:xysin横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变101xysin图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy1练习题例1+变式1：五点法——先作变量代换：X=wx+Φ,再用方程思想由X=0,π/2，π，π3/2,2π来确定对应的x值例2+变式2：图像变换：1.先平移后伸缩变换2.先伸缩后平移变换注意：平移在x自身基础上+/-练习题例3+变式3：例4+变式4：方法技巧