整式的乘法及因式分解单元总结与归纳

《整式的乘法及因式分解》单元总结与归纳【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：22ababab2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即2222aabbab，2222aabbab.形如222aabb，222aabb的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2xbxc，若存在pqcpqb，则2xbxcxpxq分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21xx＝0，求3223xx的值．【答案与解析】解：依题意得：21xx，∴3223xx，＝3223xxx，＝22()3xxxx，＝23xx，＝4；类型二、公式法分解因式2、已知2x－3＝0，求代数式2259xxxxx的值．【答案与解析】解：2259xxxxx，＝322359xxxx，＝249x．当2x－3＝0时，原式＝2492323xxx＝0．3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如4422xyxyxyxy，当x＝9，y＝9时，xy＝0，xy＝18，22xy＝162，则密码018162．对于多项式324xxy，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是什么？【答案与解析】解：32224422xxyxxyxxyxy，当x＝10，y＝10时，x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，故密码为103010或101030或301010．4、因式分解：（1）269abab；（2）222xyxy（3）22224222xxyyxxyy．【答案与解析】解：（1）22693ababab（2）2222222xyxyxyxyxy（3）22224222xxyyxxyy＝24222xxyyxy5、先阅读，再分解因式：24422224444(2)2xxxxxx222222xxxx，按照这种方法把多项式464x分解因式．【答案与解析】解：442264166416xxxx＝222816xx＝228484xxxx．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2xpxqxpq2xpqxpq＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710xx；②2712yy．【答案与解析】解：（1）xpxq（2）①271025xxxx②271234yyyy