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数学教师:王书宇第1页共4页高考数学解三角形典型例题答案(一)1.设锐角ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,,2sinabA.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cossinAC的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sinabA,根据正弦定理得sin2sinsinABA,所以1sin2B,由ABC为锐角三角形得π6B.(Ⅱ)cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A.2.在ABC中,角A.B.C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设2411msinA,cosA,nk,k,且mn的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA.∵0Aπ,∴sinA≠0.∴cosB=21.∵0Bπ,∴B=3.(II)mn=4ksinA+cos2A.=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,32)设sinA=t,则t∈]1,0(.则mn=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈]1,0(.∵k1,∴t=1时,mn取最大值.20070316数学教师:王书宇第2页共4页依题意得,-2+4k+1=5,∴k=23.3.在ABC中,角CBA,,所对的边分别为cba,,,22sin2sinCBA.I.试判断△ABC的形状;II.若△ABC的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin2cos2sin2sinCCCCC2242CC即,所以此三角形为直角三角形.II.ababbaba221622,2)22(64ab当且仅当ba时取等号,此时面积的最大值为24632.4.在ABC中,a、b、c分别是角A.B.C的对边,C=2A,43cosA,(1)求BCcos,cos的值;(2)若227BCBA,求边AC的长。【解析】:(1)81116921cos22coscos2AAC47sin,43cos;873sin,81cosAACC得由得由169814387347coscossinsincoscosCACACAB(2)24,227cos,227acBacBCBA①又aAacACCcAa23cos2,2,sinsin②由①②解得a=4,c=625169483616cos2222Baccab5b,即AC边的长为5.5.已知在ABC中,AB,且Atan与Btan是方程0652xx的两个根.(Ⅰ)求)tan(BA的值;(Ⅱ)若AB5,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652xx的两根tan3,tan2AB.∴tantantan()1tantanABABAB231123(Ⅱ)∵180CBA,∴)(180BAC.数学教师:王书宇第3页共4页由(Ⅰ)知,1)tan(tanBAC,∵C为三角形的内角,∴2sin2C∵tan3A,A为三角形的内角,∴3sin10A,由正弦定理得:sinsinABBCCA∴53352102BC.6.在ABC中,已知内角A.B.C所对的边分别为a、b、c,向量2sin,3mB,2cos2,2cos12BnB,且//mn。(I)求锐角B的大小;(II)如果2b,求ABC的面积ABCS的最大值。【解析】:(1)//mn2sinB(2cos2B2-1)=-3cos2B2sinBcosB=-3cos2Btan2B=-3∵02Bπ,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B=-3B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC的面积S△ABC=12acsinB=34ac≤3∴△ABC的面积最大值为3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立)∴ac≤4(2-3)∵△ABC的面积S△ABC=12acsinB=14ac≤2-3∴△ABC的面积最大值为2-37.在ABC中,角A.B.C所对的边分别是a,b,c,且.21222acbca(1)求BCA2cos2sin2的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.数学教师:王书宇第4页共4页【解析】:(1)由余弦定理:cosB=142sin2AC+cos2B=41(2)由.415sin,41cosBB得∵b=2,a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为315
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