初三相似三角形的基本模型

..精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T(相似三角形的基本类型。)C（专题方法主题）T（学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：相似证明中的基本模型IHGFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBAEFDCBAFEDCBAODCBAODCBAHEDCBAEDCBAEDCBAODCBA..DCBDBACAEDCBADCBAGFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBAHPMNFEDCBAGHGFEDCBAEFDCBAFEDCBA知识点2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：AD平分BAC交BC于D，求证：BDABDCAC．321EDCAB证法一：过C作CEAD∥，交BA的延长线于E．∴1E，23．∵12，∴3E．∴ACAE．∵ADCE∥，∴BDBABADCBEAC．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．..BACDE12证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E．∴12E，∴ABBE．∵BEAC∥，∴BDBEABDCACAC．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．知识点3：相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．常用的面积法基本模型如下：图1：“山字”型HDCBA如图：1212ABCACDBCAHSBCSCDCDAH△△．图2：“田字”型GHODCBA如图：1212ABCBCDBCAHSAHAOSDGODBCDG△△．..图3：“燕尾”型CDEBA如图：ABDABDAEDACEAEDACESSSABADABADSSSAEACAEAC△△△△△△．。。。。。二、同步题型分析题型1：与三角形有关的相似问题例1：如图，D、E是ABC的边AC、AB上的点，且ADACAEAB，求证：ADEB.解析：例2：如图，在ABC中，ADBC于D，CEAB于E，ABC的面积是BDE面积的4倍，6AC，求DE的长.解析：题型2：相似中的角平分线问题BAEDCBAEDC..DCBA例1：如图，AD是ABC的角平分线，求证：ABBDACCD解析：例2：已知ABC中，BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，求证：ABBDACCD解析：例3：已知：AD、AE分别为ABC的内、外角平分线，M为DE的中点，求证：22ABBMACCMMEDCBA解析：DCBA..3：2abc型结题型论的证明例1：如图，直角ABC中，ABAC，ADBC，证明：2ABBDBC，2ACCDBC，2ADBDCD.解析：BADC例2：如图，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：2FDFBFC．解析：EFDCBA..题型4、三角形内接矩形问题例1、已知，如图，ABC中，3490ACBCC，，，四边形DEGF为正方形，其中DE，在边ACBC，上，FG，在AB上，求正方形的边长．GFEDCBA解析：三、课堂达标检测检测题1：如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（）A、1∶2B、1∶4C、4∶9D、2∶3第1题图FEGDCBA第2题图OEDCBA检测题2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，DOES∶COBS＝4∶9，则AE∶EC为（）A、2∶1B、2∶3C、4∶9D、5∶4检测题3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD的长为（）..A、1B、23C、2D、25答案：1、C2、A3、C一、专题精讲构造相似辅助线——双垂直模型例1：在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．答案：解：情形一：..情形二：情形三：..例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC根据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC..∵PD=DA∴MC：CN=DA：DC∵PD//BC∴DA：DC=PA：PB∴MC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB例3：已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线——A、X字型例4：如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：答案：证明：（方法一）如图..延长AE到M使得EM=AE，连接CM∵BE=CE，∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB，∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB，AD=AC∴（方法二）过D作DG∥BC交AE于G则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴，..∵AD=AC，BE=CE∴例5：四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：答案：证明：过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3∵AC平分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3∴△BEA∽△DEF..∴∵AD=DF∴∵AC为AB、AD的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴例6：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的..一般结论，并给出证明．答案：证明：过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q∵AB∥CD，PQ∥BC∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形∴PB＝EF＝CQ，又∵AB＝b，CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴例7：已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。求BN：NQ：QM．答案：解：连接MF..∵M是AC的中点，EF＝FC∴MF∥AE且MF＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2相似类定值问题例8：如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证：．答案：证明：如图，作DP∥AB，DQ∥AC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ..∵M、N分别是边AB，AC的中点∴MN＝BC＝PQ∵DP∥AB，DQ∥AC∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC∴，∴∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB∴AB（）＝∴例9：已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。求证：．答案：证明：∵EF//AB，AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA∴，..∴∴例:10：如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。求证：．答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB∴，∵，∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB∴，∵EF＝EH∴∴..例11：已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC∴，∵，∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC∴，∴∵EF＝DE＝a∴一线三角等题型：..例12（2010年绍兴中考）如图，已知在矩形ABCD中，23ABBC，，P是线段AD边上的任意一点（不含端点AD、），连接PC，过点P作PEPC交AB于E．（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QCQE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．解：（1）假设存在这样的点Q；∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DCP，∴=，∴AP•DP=AE•DC；同理可得AQ•DQ=AE•DC；∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3﹣AQ）=AP•（3﹣AP），∴3AQ﹣AQ2=3AP﹣AP2，∴AP2﹣AQ2=3AP﹣3AQ，∴（AP+AQ）（AP﹣AQ）=3（AP﹣AQ）；..∵AP≠AQ，∴AP+AQ=3（2分）∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．（1分）（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3﹣x）=2y，∴y=x（3﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴当x=（在0＜x＜3范围内）时，y最大值=；而此时BE最小为，又∵E在AB上运动，且AB=2，∴BE的取值范围是≤BE＜2．（2分）例13（2012年宁夏中考）在矩形ABCD中，2AB，3AD，P是BC上的任意一点（P与BC、不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E．（1）连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（3）若PEBD∥，试求出此时BP的长．..解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）；在Rt△ABP中，BP===（勾股定理）；（2）∵AP⊥PE（已知），∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，∴∠APB=∠PEC，又∵∠B=∠C=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCE，∴即（相似三角形的对应边成比例），∴=∴当x=时，y有最大值，最大值是；（3）如图，连接BD．设BP=x，∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD，∴（相似三角形的对应边成比例），即化简得，3x2﹣13x+12=0..解得，x1=，x2=3（不合题意，舍去），∴当BP=时，PE∥BD．例14（2012年宜宾中考）如图，在ABC中，已知5ABAC，6BC，且ABCDEF≌，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：ABEECM∽；（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE