幂函数的典型例题

1经典例题透析类型一、求函数解析式例1.已知幂函数2223(1)mmymmx，当(0)x，∞时为减函数，则幂函数y__________．解析：由于2223(1)mmymmx为幂函数，所以211mm，解得2m，或1m．当2m时，2233mm，3yx在(0)，∞上为减函数；当1m时，2230mm，01(0)yxx在(0)，∞上为常数函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为3yx．总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．类型二、比较幂函数值大小例2.比较下列各组数的大小.(1)433.14与43；(2)35(2)与35(3).解:(1)由于幂函数43yx(x0)单调递减且3.14，∴44333.14.(2)由于35yx这个幂函数是奇函数.∴f(-x)=-f(x)因此，3355(2)(2)，3355(3)(3)，而35yx(x0)单调递减，且23，∴33335555(2)(3)(2)(3).即3355(2)(3).总结升华：(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9的大小.思路点拨：先利用幂函数0.5yx的增减性比较0.50.8与0.50.9的大小，再根据幂函数的图象比较0.50.9与0.50.9的大小.解：0.5yx在(0)，∞上单调递增，且0.80.9，0.50.50.80.9.作出函数0.5yx与0.5yx在第一象限内的图象，易知0.50.50.90.9.2故0.50.50.50.80.90.9.例3.已知幂函数1nyx，2nyx，3nyx，4nyx在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?解:应为n1n20n31n4.总结升华：对于幂函数()yxR的图象，其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.举一反三【变式一】（2011陕西文4）函数13yx的图像是（）思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．解：取11,88x，则11,22y，选项B，D符合；取1x，则1y，选项B符合题意．类型三、求参数的范围例4.已知幂函数2()myxmN的图象与xy，轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．解：图象与xy，轴都无交点，2m0，即2m．又mN，012m，，．幂函数图象关于y轴对称，0m，或2m．当0m时，函数为2yx，图象如图1；当2m时，函数为01(0)yxx，图象如图2．举一反三【变式一】若22132aa，求实数a的取值范围.解法1：∵22132aa，考察2yx的图象，得以下四种可能情况:3(1)12301023aaaa(2)12301023aaaa(3))1(2301023aaaa(4)1)23(01023aaaa分别解得:(1)213a.(2)无解.(3)1a.(4)4a.∴a的取值范围是21143，，，.解法2：画出2yx的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，∴要使22132aa，即10320|1||32|aaaa，解得:21143，，，.总结升华：以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.【变式二】当m为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)322mmx的图象同时通过点(0，0)和(1，1).解:∵y=(m2-5m+6)322mmx是幂函数.∴m2-5m+6=1.得:m=255，又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m2-2m-30，得m3或m-1，∴m=255(舍去)即:m=255.类型四、讨论函数性质例5.求函数y=3221)3()2(xx的定义域.解:原函数可化为y=32)3(2xx0302xx∴x[-2，3)∪(3，+∞).总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.例6.讨论函数324(23)yxx的单调性.解:324(23)yxx可看作是由34yu与u=x2-2x-3复合而成，∵34yu中，u(0，+∞).∴x2-2x-30，得到x3或x-1.当x3时，∵u=(x-1)2-4，∴随着x的增大u增大，又∵34yu在定义域内为减函数，∴y随着u的增大而减小，即3x，时，324(23)yxx是减函数，而1x，时，原函数为增函数.总结升华：1.复合函数的讨论一定要理清x，u，y三个变量的关系.2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x的限制.4举一反三【变式一】讨论函数211()()mmfxxmN的定义域、奇偶性和单调性．解：（1）2(1)()mmmmmN是正偶数，21mm是正奇数．函数()fx的定义域为R．（2）21mm是正奇数，221111()()()mmmmfxxxfx，且定义域关于原点对称．()fx是R上的奇函数．（3）2101mm，且21mm是正奇数，函数()fx在()，∞∞上单调递增．