数学建模-小孩拉玩具

问题：一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹.假设小孩沿X=cos(t)Y=sin(t)的圆运动。小孩的坐标为((),())XtYt，玩具的坐标为((),())xtyt。如图：其中tv为玩具运动方向，cv为小孩运动方向。由题意知：(1)((),())XtYt与((),())xtyt之间的距离为硬棒的长度a。有222()()XxYya①(2)玩具总在硬棒的方向上运动，因此，两个位置的差向量是玩具速度方向的倍数，即,0dxXxdtdyYydt②(3)玩具的速度依赖于小孩的速度向量cv的方向，小孩的速度cv在硬棒上的投影是玩具的速度tv的模，(,)BXY(,)Axycvtv(,)tcvv③这里(,)表示内积，为tv方向上的单位向量，则2211()()XxXxYyYyaXxYy④cdXdtvdYdt⑤由①②③④⑤可得221()()()1()()()dxdXdYXxYyXxdtadtdtdydXdYXxYyYydtadtdt⑥因为我们假设小孩沿圆运动，由⑥可得：(1)sin()(cos())cos()(sin())(cos())(1)sin()(cos())cos()(sin())(sin())(3)0(0)0dxttxttytxdtdyttxttytydtxyMATLAB程序求解：建立M文件eq1.m:M文件eq1.m:functiondy=eq1(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=((-1)*sin(t)*(cos(t)-y(1))+cos(t)*(sin(t)-y(2)))*(cos(t)-y(1));dy(2)=((-1)*sin(t)*(cos(t)-y(1))+cos(t)*(sin(t)-y(2)))*(sin(t)-y(2));取t0=0，tf=10建立程序如下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq1',[t0tf],[30]);T=0:0.1:10;X=cos(T);Y=sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')