量子力学——算符

量子力学算符2/52目录一、位置算符1.1厄米算符1.2（位置算符）本征值与本征函数1.3正则对易关系二、动量算符2.1动量算符导引2.2（动量算符）本征值与本征函数2.3厄米算符2.4正则对易关系三、角动量算符3.1简介3.2数学定义3.3角动量是厄米算符3.4对易关系3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系3.4.2角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系3.4.3哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系3.4.4在经典力学里的对易关系3.5(角动量）本征值与本征函数四、哈密顿算符五、阶梯算符六、创生及湮灭算符七、自旋算符7.1概论7.2发展史7.3自旋量子数7.3.1基本粒子的自旋7.3.2亚原子粒子的自旋7.3.3原子和分子的自旋7.3.4自旋与统计7.4自旋的方向7.4.1自旋投影量子数与自旋多重态7.4.2自旋矢量7.5自旋与磁矩7.6量子力学中关于自旋的数学表示7.6.1自旋算符7.6.2自旋与泡利不相容原理7.6.3自旋与旋转7.6.4自旋与洛伦兹变换7.6.5泡利矩阵和自旋算符7.6.6沿x,y和z轴的自旋测量7.6.7沿任意方向的自旋测量7.6.8自旋测量的相容性7.6.9自旋1/27.7应用八、时间演化算符3/52一、位置算符在量子力学里，位置算符(positionoperator)是一种算符，当作用于粒子的波函数，可以得到粒子的位置。给予一个粒子的波函数，这粒子的位置的期望值为返回目录返回目录目录目录1.1.11厄米算符厄米算符1.1.22本征值与本征函数本征值与本征函数1.1.33正则对易关系正则对易关系4/521.1厄米算符由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量O的期望值是实值的：对于任意量子态，这关系都成立：根据伴随算符的定义，假设是的伴随算符，则因此，这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符，都是厄米算符。位置是一个可观察量，位置算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态的波函数为，对于任意量子态，。所以，动量算符确实是一个厄米算符动量算符确实是一个厄米算符。返回目录返回目录5/521.2（位置算符）本征值与本征函数假设，位置算符的本征值为的本征函数是。用方程表达，这方程的一般解为，其中，是常数，是狄拉克δ函数。虽然无法归一化：设定=1，我们可以使满足下述方程：这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数都可以表达为本征函数的线性合：返回目录返回目录6/521.3正则对易关系位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果：所以，。这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等于0，位置与动量彼此是不相容可观察量。与绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，的本征态与的本征态不同。根据不确定性原理，由于与是两个不相容可观察量，。所以，的不确定性与的不确定性的乘积，必定大于或等于返回目录返回目录7/52二、动量算符在量子力学里，动量算符(momentumoperator)是一种算符，可以用来计算一个或多个粒子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数的动量算符可以写为其中，是动量算符，是约化普朗克常数，是虚数单位，是位置。给予一个粒子的波函数，我们可以计算这粒子的动量的期望值：其中，是动量动量算符中也包含厄米算符、正则对易关系的内容，详见1.1、1.3返回目录返回目录目录目录2.1动量算符导引2.2本征值与本征函数2.3厄米算符2.4正则对易关系8/522.1动量算符导引(1)对于一个非相对论性的自由粒子，位势，不含时薛定谔方程表达为其中，是约化普朗克常数，是粒子的质量，是粒子的波函数，是粒子的位置，是粒子的能量。这薛定谔方程的解答是一个平面波：其中，是波数，。根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是自由粒子具有明确的动量，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的量子态都一样。标记粒子的动量算符为。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量所作的测量，都得到同样的测量值，那么，不确定性，这自由粒子的量子态是确定态，是的本征态，在位置空间(positionspace)里，本征函数为，本征值为：换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数[1]。为了要达到此目标，势必要令所以，可以认定动量算符的形式为返回目录返回目录9/522.1动量算符导引(2)在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数：在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话是以期望值的方式来实现[2]：那么，用积分方程来表达，其中，是波函数。取微分于积分号下，由于只是一个位置的统计参数，不相依于时间，(1)含时薛定谔方程为其中，是位势。其共轭复数为返回目录返回目录10/522.1动量算符导引(3)将上述两个方程代入方程(1)，可以得到使用分部积分法，(2)(3)方程(2)与(3)的减差是所以，对于任意波函数，这方程都成立。因此，我们可以认定动量算符为。返回目录返回目录11/522.2（动量算符）本征值与本征函数(1)假设，动量算符的本征值为的本征函数是：这方程的一般解为，其中，是常数。假设的定义域是一个有限空间，从x=-L到x=L，那么，我们可以将归一化：的值是。动量算符的本征函数归一化为假设的定义域是无穷大空间，则不是一个平方可积函数：返回目录返回目录12/522.2（动量算符）本征值与本征函数(2)动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内。我们不能直接地积分于无穷大空间，来使归一化。换另一种方法，设定。那么，其中，是狄拉克δ函数。这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数都可以表达为本征函数的线性组合：其中，系数是返回目录返回目录13/52三、角动量算符在量子力学里，角动量算符(angularmomentumoperator)是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性(rotationalsymmetry)的理论里，角动量算符占有中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基本特性返回目录返回目录目录目录3.1简介3.2数学定义3.3角动量是厄米算符3.4对易关系3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系3.4.2角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系3.4.3哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系3.4.4在经典力学里的对易关系3.5(角动量)本征值与本征函数14/523.1角动量算符简介角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定性(deterministic)行为。返回目录返回目录15/523.2数学定义在经典力学里，角动量定义为位置与动量的叉积：在量子力学里，对应的角动量算符定义为位置算符与动量算符的叉积：由于动量算符的形式为角动量算符的形式为其中，是梯度算符。返回目录返回目录16/523.3角动量是厄米算符在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量，所以，角动量算符应该也是厄米算符。现在证明这一点，思考角动量算符的x-分量：其伴随算符为由于、、、，都是厄米算符，由于与之间、与之间分别相互对易，所以，因此，是一个厄米算符。类似地，与都是厄米算符。总结，角动量算符是厄米算符总结，角动量算符是厄米算符。再思考算符，其伴随算符为由于算符、算符、算符都是厄米算符，所以，算符是厄米算符返回目录返回目录17/523.4对易关系两个算符与的交换算符，表示出它们之间的对易关系返回目录返回目录18/523.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（1）思考与的交换算符，由于两者的对易关系不等于0，与彼此是不相容可观察量。与绝对不会有共同的基底量子态。一般而言，的本征态与的本征态不同。给予一个量子系统，量子态为。对于可观察量算符，所有本征值为的本征态，=1,2,3….形成了一组基底量子态。量子态可以表达为这基底量子态的线性组合：。对于可观察量算符，所有本征值为的本征态，=1,2,3….形成了另外一组基底量子态。量子态可以表达为这基底量子态的线性组合：返回目录返回目录19/523.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（2）根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若，我们测量可观察量，得到的测量值为其本征值，则量子态几率地坍缩为本征态。假若，我们立刻再测量可观察量，得到的答案必定是，量子态仍旧处于。可是，假若，我们改为测量可观察量，则量子态不会停留于本征态，而会坍缩为的本征态。假若，得到的测量值为其本征值，则量子态几率地坍缩为本征态根据不确定性原理，的不确定性与的不确定性的乘积，必定大于或等于。与之间，与之间，也有类似的特性。返回目录返回目录20/523.4.2角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系思考与的交换算符，与是对易的，与彼此是相容可观察量，两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，我们可以同时地测量到与的本征值。类似地，与之间、与之间，都分别拥有类似的物理特性。返回目录返回目录21/523.4.3哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系思考与的交换算符，与是对易的，与彼此是相容可观察量，两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理，我们可以同时地测量到与的本征值。类似地，与之间、与之间，都分别拥有类似的物理特性。返回目录返回目录22/523.4.4在经典力学里的对易关系在经典力学里，角动量算符也遵守类似的对易关系：其中，﹛,﹜是泊松括号，是列维-奇维塔符号，，代表直角坐标返回目录返回目录23/523.5(角动量)本征值与本征函数(1)采用球坐标。展开角动量算符的方程：其中，，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。转换回直角坐标，其中，，分别为x-单位矢量、y-单位矢量、与z-单位矢量。所以，分别是返回目录返回目录24/523.5(角动量)本征值与本征函数(2)角动量平方算符是其中，返回目录返回目录25/523.5(角动量)本征值与本征函数(3)经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程满足算符的本征函数是球谐函数：其中，本征值是正整数。球谐函数也是满足算符微分方程的本征函数：其中，本征值是整数，。因为这两个算符的正则对易关系是0，它们可以有共同的本征函数。球谐函数表达为返回目录返回目录26/523.5(角动量)本征值与本征函数(4)球谐函数表达为其中，是虚数单位，是伴随勒让德多项式，用方程定义为而是阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：球谐函数满足正交归一性：这样，角动量算符的本征函数，形成一组单范正交基。任意波函数都可以表达为这单范正交基的线性组合：其中，返回目录返回目录27/52四、哈密顿算符（1）量子力学中，哈密顿算符(Hamiltonian)H为一个可观测量，对应于系统的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度(spectralmeasure)被分解，成为纯点(purepoint)、绝对连续(absolutelycontinuous)、奇点(singular)三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者又对应到系统的束缚态(boundstates)。绝对连续谱则对应到自由态(freestates)。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。返回目录返回目录28/52四、哈密顿算符（2）哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若为在时间t的系统状态，其中为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。