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1空间几何体的表面积与体积专题一、选择题1.棱长为2的正四面体的表面积是(C).A.3B.4C.43D.16解析每个面的面积为:12×2×2×32=3.∴正四面体的表面积为:43.2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的(B).A.2倍B.22倍C.2倍D.32倍解析由题意知球的半径扩大到原来的2倍,则体积V=43πR3,知体积扩大到原来的22倍.3.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为(B).A.1423B.2843C.2803D.1403解析根据三视图的知识及特点,可画出多面体的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-13×12×2×2×2=2843.4.某几何体的三视图如下,则它的体积是(A)A.8-2π3B.8-π3C.8-2πD.2π3解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥,所以V=23-13×π×2=8-2π3.5.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为(A)A.24-32πB.24-π3C.24-πD.24-π2据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,其中长方体的棱长分别为:2,3,4,半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V=2×3×4-12×π×12×3=24-3π2.6.某品牌香水瓶的三视图如图(单位:cm),则该几何体的表面积为(C)2A.95-π2cm2B.94-π2cm2C.94+π2cm2D.95+π2cm2解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱.上面四棱柱的表面积为2×3×3+12×1-π4=30-π4;中间部分的表面积为2π×12×1=π,下面部分的表面积为2×4×4+16×2-π4=64-π4.故其表面积是94+π2.7.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为(C).A.33B.23C.3D.1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上,作过AB的小圆交直径SC于D,设SD=x,则DC=4-x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD,在△SAD和△SBD中,由已知条件可得AD=BD=33x,又因为SC为直径,所以∠SBC=∠SAC=90°,所以∠DCB=∠DCA=60°,在△BDC中,BD=3(4-x),所以33x=3(4-x),所以x=3,AD=BD=3,所以三角形ABD为正三角形,所以V=13S△ABD×4=3.二、填空题8.三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥PABC的体积等于__3______.解析依题意有,三棱锥PABC的体积V=13S△ABC·|PA|=13×34×22×3=3.9.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_3∶2_______.解析设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2πr·2r=4πr2,设球的半径是R,则球的表面积是4πR2,根据已知4πR2=4πr2,所以R=r.所以圆柱的体积是πr2·2r=2πr3,球的体积是43πr3,所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr343πr3=3∶2.10.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形3组成,则该多面体的体积是___26_____.解析由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为32,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为22,所以体积V=13×1×1×22=26.11.如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____.解析由球的半径为R,可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r,高为2h,则h2+r2=R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h=4πrh≤4πr2+h22=2πR2(当且仅当r=h时等号成立),即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2,此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.12.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为___13_____cm.解析根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为52+122=13(cm).三、解答题13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的侧视图;(2)求该安全标识墩的体积.解析(1)侧视图同正视图,如图所示:(2)该安全标识墩的体积为V=VPEFGH+VABCDEFGH=13×402×60+402×20=64000(cm3).14.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为3,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解析(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为41的正方形,高为3,所以V=1×1×3=3.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,S=2×(1×1+1×3+1×2)=6+23.15.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解析由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如右图所示.(1)几何体的体积为:V=13·S矩形·h=13×6×8×4=64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:h1=42+32=5.左、右侧面的底边上的高为:h2=42+42=42.故几何体的侧面面积为:S=2×12×8×5+12×6×42=40+242.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()..解:设展开图的正方形边长为a,圆柱的底面半径为r,则2πr=a,2ar,底面圆的面积是24a,于是全面积与侧面积的比是2221222aaa,2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是().2.解:正方体的体积为1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248,于是8个三棱锥的体积是61,剩余部分的体积是65,3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是6cm和8cm,高是5cm,则这个直棱柱的全面积是。3.答案:148cm2解:底面菱形中,对角线长分别是6cm和8cm,所以底面边长是5cm,侧面面积是4×5×5=100cm2,两个底面面积是48cm2,所以棱柱的全面积是148cm2.4.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1:2,则它们的高之比为。4.答案:22:5解:设圆柱的母线长为l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1:52,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23和43,由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2rl,得13lr,223lr,所以它们的高的比是2222()22325()3llll.5.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为1cm,2cm,3cm,则此棱锥的体积_________5.答案:1cm3解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为1cm,2cm的两条)确定的侧面看作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是1,高为3,则它的体积是31×1×3=1cm3.6.矩形两邻边的长为a、b,当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为6.答案:ba解:矩形绕a边旋转,所得几何体的体积是V1=πb2a,矩形绕b边旋转,所得几何体的体积是V2=πa2b,所以两个几何体的体积的比是2122VbabVaba16.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值;(2)当四面体的体积最大时,求其表面积.解析(1)如图,在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中点为P,BC的中点为E,连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC,∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC=13·S△BPC·AP+13S△BPC·PD=13·S△BPC·AD=13·12·aa2-x24-a24·x=a12a2-x2x2≤a12·3a22=18a3(当且仅当x=62a时取等号).∴该四面体的体积的最大值为18a3.(2)由(1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为62a,∴S表=2×34a2+2×12×62a×a2-64a2=32a2+62a×10a4=32a2+15a24=23+154a2.
本文标题:空间几何体的表面积与体积练习题.及答案
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