指数函数知识点及其习题(附答案)

〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR2.1.2指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y＞1(x＞0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＜0)y＞1(x＜0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＞0)a变化对图象影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴．在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴．01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A．7177)(mnmnB．31243)3(C．43433)(yxyxD．33392．化简)31()3)((656131212132bababa的结果（）A．a6B．aC．a9D．29a3．设指数函数)1,0()(aaaxfx，则下列等式中不正确的是（）A．f(x+y)=f(x)·f(y)B．)()(yfxfyxf）（C．)()]([)(QnxfnxfnD．)()]([·)]([)(Nnyfxfxyfnnn4．函数210)2()5(xxy（）A．}2,5|{xxxB．}2|{xxC．}5|{xxD．}552|{xxx或5．若指数函数xay在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（）A．251B．251C．251D．2156．当a0时，函数yaxb和ybax的图象只可能是（）7．函数||2)(xxf的值域是（）A．]1,0(B．)1,0(C．),0(D．R8．函数0,0,12)(21xxxxfx，满足1)(xf的x的取值范围（）A．)1,1(B．),1(C．}20|{xxx或D．}11|{xxx或9．函数22)21(xxy得单调递增区间是（）A．]21,1[B．]1,(C．),2[D．]2,21[10．已知2)(xxeexf，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数11．已知函数f(x)的定义域是（1，2），则函数)2(xf的定义域是.12．当a＞0且a≠1时，函数f(x)=ax－2－3必过定点.三、解答题：13．求函数yxx1511的定义域.14．若a＞0，b＞0，且a+b=c，求证：(1)当r＞1时，ar+br＜cr；(2)当r＜1时，ar+br＞cr.15．已知函数11)(xxaaxf(a＞1).（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）证明f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．2.1指数函数练习参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)；三、13．解：要使函数有意义必须：xxxxx101010∴定义域为：xxRxx且01,14．解：rrrrrcbcacba，其中10,10cbca.当r＞1时，1cbcacbcarr，所以ar+br＜cr；当r＜1时，1cbcacbcarr，所以ar+br＞cr.15．解：(1)是奇函数.(2)设x1＜x2，则1111)()(221121xxxxaaaaxfxf。=)1)(1()1)(1()1)(1(212121xxxxxxaaaaaa∵a＞1，x1＜x2，∴a1x＜a2x.又∵a1x+1＞0，a2x+1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.16、(1)若a1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝a2，即a＝32或a＝0(舍去)．(2)若0a1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a－a2＝a2，即a＝12或a＝0(舍去)，综上所述，所求a的值为12或32.