重点高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

欢迎阅读同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sinαcosα＝tan_α其中α≠kπ＋π2k∈Z.【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】(1)已知sinα＝1213，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.(2)已知cosα＝－45，求sinα和tanα.[解](1)cos2α＝1－sin2α＝1－12132＝5132，又α是第二象限角，所以cosα0，cosα＝－513，tanα＝sinαcosα＝－125.(2)sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝352，因为cosα＝－450，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝35，tanα＝sinαcosα＝－34；当α是第三象限角时，sinα＝－35，tanα＝sinαcosα＝34.【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±1－sin2α，求得cosα的值，再由公式tanα＝sinαcosα求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±1－cos2α，求得sinα的值，再由公式tanα＝sinαcosα求得tanα的值．欢迎阅读(3)若已知tanα＝m，可以应用公式tanα＝sinαcosα＝m?sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±11＋m2，sinα＝±m1＋m2的值．【对点训练】已知tanα＝43，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解：由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝925.又α是第三象限角，故cosα＝－35，sinα＝43cosα＝－45.题型二、化切求值【例2】已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)4sinα－cosα3sinα＋5cosα；(2)sin2α－2sinα·cosα－cos2α4cos2α－3sin2α；(3)34sin2α＋12cos2α.[解](1)原式＝4tanα－13tanα＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；(2)原式＝tan2α－2tanα－14－3tan2α＝9－2×3－14－3×32＝－223；(3)原式＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tanα＝m，可以求asinα＋bcosαcsinα＋dcosα或asin2α＋bsinαcosα＋ccos2αdsin2α＋esinαcosα＋fcos2α的值，将分子分母同欢迎阅读除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(2)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tanα＝2，求下列各式的值：(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.解：(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α，这时分子和分母均为关于sinα，cosα的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.题型三、化简三角函数式【例3】化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．[解]因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0.故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．欢迎阅读(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)sinθ－cosθtanθ－1；(2)sin2θ－sin4θ，θ是第二象限角．解：(1)sinθ－cosθtanθ－1＝sinθ－cosθsinθcosθ－1＝sinθ－cosθsinθ－cosθcosθ＝cosθ.(2)由于θ为第二象限角，所以sinθ0，cosθ0，故sin2θ－sin4θ＝sin2θ1－sin2θ＝sin2θcos2θ＝|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[证明]法一：∵右边＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝tanαsinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα1－cosα＝sin2αsinα1－cosα＝sinα1－cosα，∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：1＋2sinθcosθcos2θ－sin2θ＝1＋tanθ1－tanθ欢迎阅读证明：∵左边＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθcosθ＋sinθcosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ2cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθcosθcosθ－sinθcosθ＝1＋tanθ1－tanθ＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】1．已知α∈π2，π，sinα＝35，则cosα等于()A.45B．－45C．－17D.35解析：选B∵α∈π2，π且sinα＝35，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－352＝－45.2．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1解析：选B∵α为第三象限角，∴原式＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－3.3．已知cosα－sinα＝－12，则sinαcosα的值为________．解析：由已知得(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－2sinαcosα＝14，解得sinαcosα＝38.答案：384．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为________．欢迎阅读解析：原式＝2sinα－cosαcosαsinα＋2cosαcosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.答案：345．化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°.解：原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.