基于惯性飞轮的独轮自平衡机器人-侧向动力学分析

基金项目：国家自然科学基金项目(61075110)；国家“863计划”项目(2007AA04Z226)；北京市教委重点项目(KZ201210005001)收稿日期：2012-06-20修回日期：2012-10-22第一作者简介：朱晓庆，男，1987年生，北京工业大学，博士生；研究方向——机器人动力学。通讯作者：阮晓钢，E-mail：[e-mail]；[e-mail]应用力学学报CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICS第30卷第3期2013年6月Vol.30No.3Jun.2013文章编号：1000-4939(2013)03-0395-06基于惯性飞轮的独轮自平衡机器人侧向动力学分析朱晓庆阮晓钢魏若岩(北京工业大学100124北京)摘要：独轮机器人是一类重要的科学研究型机器人，基于旋转的惯性飞轮的独轮机器人可以实现独轮机器人的侧向平衡。本文单独推导了其侧向动力学方程，分析得出惯性飞轮对独轮机器人侧平衡的动力学影响，通过设计PD控制器和LQR控制器实现了对独轮机器人的侧向平衡控制，并进行了对比。仿真和物理实验均证实了：独轮机器人的滚转角变化量与飞轮的角加速度成正比;旋转飞轮产生的平衡力矩与飞轮的转动加速度方向相反；独轮机器人的滚转角变化量与飞轮的转动惯量正相关。关键词：独轮机器人；拉格朗日方程；侧向动力学方程；PD控制器；LQR中图分类号：TP391文献标识码：ADOI：10.11776/cjam.30.03.C0411引言作为一种重要的科学研究机器人，独轮机器人一直以来受到全世界的强烈关注，特别是日本“村田少女”的问世，使得人们对独轮机器人的研究兴趣大增。独轮机器人是典型的欠驱动多耦合系统，因而对其的控制难度远大于其他机器人。独轮机器人本身是一个俯仰、横滚、偏航三自由度耦合的复杂系统，当不考虑偏航并且通过增加侧向驱动部件使得独轮机器在俯仰和横滚自由度上解耦后，独轮机器人本质上可以视为一个具有前后方向(纵向)和左右方向(侧向)二自由度的倒立摆。对于单自由度一级倒立摆，现有的控制方法可以达到很好的效果。但是由于独轮机器人的单一行走轮特性，使其成为一个欠驱动的系统，即侧向平衡无法像纵向平衡一样通过轮子的前后转动达到。因为轮子无法像螃蟹一样左右运动，因而独轮机器人的侧向平衡问题是其研究的关键，为此世界各国的科研工作者进行了各种各样的探索研究。针对独轮机器人的研究，文献[1]模仿人类骑自行车的原理构造了一款独轮机器人，该独轮机器人主要由轮子、车身、转盘三部分构成，其中以转盘模拟人腰椎的扭动来控制侧向平衡；文中分别采用拉格朗日方程和牛顿-欧拉方程建模并实现了独轮机器人的前后平衡控制。文献[2]在文献[1]的基础上通过凯恩方法对机器人进行了动力学建模并实现了前后和侧向的平衡控制。文献[3]~[6]研制了GYOVER系列的独轮396应用力学学报第30卷机器人，该款独轮机器人利用陀螺效应实现了对独轮机器人的侧向平衡控制，即通过高速旋转的陀螺产生的进动力控制机器人的侧向平衡；文中采用拉格朗日建模方法实现了独轮机器人的自平衡控制。文献[5]中的飞轮是纵向竖直安放的，且需要高速旋转，依靠陀螺的进动原理实现对独轮机器人的侧向姿态调节，但这样需要消耗较多能量。本文的飞轮采用横向竖直安装，依靠角动量守恒原理实现独轮机器人的侧向姿态控制，消耗能量较少。文献[7]研制的独轮车机器人通过调节车身的配重来改变系统重心，从而达到侧向平衡目的；文中通过拉格朗日建模在matlab仿真中实现了独轮机器人自平衡。文献[8]~[9]研制的独轮机器人通过一个伺服电机驱动轮子偏上部分的一个扇形块左右摆动来调节重心，从而实现独轮机器人的侧向平衡；文中通过将独轮机器人视作两级欠驱动倒立摆得到侧向动力学方程并对其进行控制。文献[10]研制了一款气动式独轮机器人，通过向左右两边喷气，利用气体的反作用力实现独轮机器人的侧向平衡。日本村田制作所[11]在2008年推出了“村田少女”独轮机器人，通过转动胸前的竖直惯性飞轮来实现其侧向平衡。在此基础上文献[12]~[13]分别对基于惯性飞轮平衡原理的独轮机器人进行了研究；均通过拉格朗日建模方法得到机器人整体的动力学方程，但都没有对惯性平衡轮的侧平衡进行单独的深入研究，仅仅推导了独轮机器人的侧向动力学方程，对其中的蕴含的实际物理意义和力学特性均未作出说明。由此本文对基于惯性平衡轮(以下简称飞轮)自平衡独轮机器人的侧向动力学进行深入研究，单独推导其侧向平衡动力学方程，并分别设计PID和LQR控制器实现侧向平衡控制。通过对动力学方程分析得出飞轮对独轮机器人侧平衡动力学影响的一般结论，并揭示飞轮实现独轮机器人侧平衡的原理，最后通过物理实验结果对动力学分析结论进行证实。2独轮机器人的构成图1为本文自主研制的独轮机器人，它主要由车轮、车身支架、48V供电锂电池、陀螺仪、DSP控制板、编码器、电机、飞轮、遥控接收器等部分构成。目前该款独轮机器人可以自主站立，为国内首个可以实现自平衡的独轮机器人，并且可以在遥控器的控制下完成前进和后退的简单运动动作。3动力学建模图2独轮机器人抽象模型图Fig.2ThemodelofSWR3.1坐标系定义及符号说明将独轮机器人抽象简化为三个部件，即行走轮、机身、飞轮，如图2所示。定义以轮子与地面的固定接触点为原点的全局惯性参考坐标系为{},,OXYZ∑；定义以飞轮质点为原点的局部笛卡尔坐标系为{}FFFF,,XYZ∑；定义以轮子质点为原点的局部笛卡尔坐标系为{}∑。独轮机器人整体的滚转角φ为车轮坐标系绕XW轴相对于全局坐标系转动的角度；飞轮转动的角度α为飞轮绕XF轴相对于全局坐标系转动的角度，ω为其角速度；φ和α均以逆时针为正方向，且α为周期变量。飞轮的质量为m；飞轮绕转动轴XF的转动惯量为Jm，除飞轮外的整体绕X轴的转动惯量为JM；l为飞轮质心到轮子最下端的距离；b为除飞轮外的整体的质心到轮子最下端的距离；驱动飞轮的电机惯量为JD；电机转动的角度为Ω；电机的减速比为χ，即Qωχ=；电机输出的转矩为τ；系统受到的摩擦力力矩为τf。3.2拉格朗日动力学建模拉格朗日方程是1788年拉格朗日从动力学普遍方程出发，导出的用系统动能对广义坐标和广义速度的偏导数进行表示的动力学方程，其形式极为简明，被广泛地应用于机器人系统的建模中。取φ和α为独轮机器人系统的两个广义坐标，图1独轮机器人实物图片Fig.1PhysicalprototypeofSWR第3期朱晓庆，等：基于惯性飞轮的独轮自平衡机器人侧向动力学分析397即1qφ=，2qα=。系统动能由四部分构成，分别计算如下。机身和轮子整体的摆动能力BT、飞轮转动动能F1T、飞轮侧向摆动动能F2T、驱动飞轮的电机动能DT分别为2BM12TJφ=&(1)2F11()2mTJφα=+&&(2)22F212Tmlφ=&(3)2DD1()2TJ&φΩ=+(4)则系统总动能为BF1F2D2222MmD1()()2TTTTTJmlJJ&&&&（）φφαφΩ=+++⎡⎤=+++++⎣⎦(5)独轮机器人系统的势能由两部分构成，分别计算如下。飞轮和除飞轮外整体的势能分别为FcosVmglφ=(6)McosVMgbφ=(7)则系统总势能为()cosVmlMbgφ=+(8)非保守力的虚功为fδδδWτατφχ=−(9)广义力为fQφτ=−(10)/Qxατ=(11)拉格朗日函数为LTV=−(12)则拉格朗日方程为d(12)djjjLLQjftqq⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠&，，，，(13)2MDDmm()()sinLJmlJJJJmlMbg&&&&&&&&&&&&&&&αφφφφφφχφφαφφ∂=+⋅+⋅+⋅+∂⋅+⋅++(14)2DMDmm()()LJJmlJJJφαφχ∂=+++++∂&&&(15)2DMDmmd()()dLJJmlJJJtφαφχ⎛⎞∂=+++++⎜⎟∂⎝⎠&&&&&(16)DDmm21LJJJJαφααφααααχχ∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂&&&&&&&&&&&&(17)DDmm2d()()dLJJJJtφααχ∂⎛⎞=+++⎜⎟∂⎝⎠&&&&&(18)将式(18)代入式(13)，忽略高阶小量后可得Dmf()()sinJJJmlMbgχφχαχφχτ++=+−⋅&&&&(19)2DmDm()()JJJJχχφχαχτ+++=×&&&&(20)式中2MmDJJmlJJ=+++对式(19)进行变形可得Dmf()()1=+()JJmlMbgJmlMbgJχχφατχχ++−−+&&&&(21)对式(21)分析可得：独轮机器人的滚转角变化量φ&&与飞轮的角加速度α&&成正比，而且飞轮产生的平衡力矩与飞轮的转动加速度方向相反。也就是说，当独轮机器人逆时针偏离平衡位置时，飞轮需要逆时针加速才可实现独轮机器人的侧向平衡。这是因为此时独轮机器人的滚转角要顺时针变化才能到达平衡位置，所以飞轮要逆时针加速旋转，反之亦然。而当独轮机器人顺时针偏离平衡位置时，飞轮需要逆时针加速才可实现独轮机器人的侧向平衡。另外，独轮机器人的滚转角加速度φ&&与飞轮的转动惯量mJ正相关，也就是说飞轮质量的增大有益于独轮机器人更好更快地回到平衡位置。考虑到独轮机器人在室内受到的空气阻力很小，因而忽略摩擦力矩fτ，即f0τ=；且在滚转角φ较小时，sinφφ≈，取XT=[φφ&αα&],得到系统一般状态方程=+UXAXB&(其中U为控制电压)。4实验4.1PD控制本文使用的实验机器人结构参数为：l=0.8m；JM=0.0437kg·m2；Jm=0.1078kg·m2；JD=0.0012kg·m2；c1=6.9N·m/V；c2=0.1N·ms；m=4kg；M=4.5kg；b=0.4m；χ=14；g=9.8N/kg。如前所述，仿真实验平台为MATLAB(2010b)，计算机处理器为奔腾4，主频2.6GHz，内存1GB；实物实验在室内进行(无风)。代入数据得系统矩阵A和控制矩阵B分别为010018.8258000.0049000118.8119000.0027⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A(22)[]T04.761202.6510=−B(23)398应用力学学报第30卷系统的特征根分别为0、0.0025+4.3389i、0.0025-4.3389i、-0.0022；有两个特征根具有正实部，说明该系统是不稳定系统，但能控矩阵23=MBABABAB⎡⎤⎣⎦满秩，故系统完全能控。设系统的初始状态为T010000X ⎡⎤=⎣⎦，即在独轮机器人向左逆时针倾斜10°时进行实验。首先在MATLAB进行了仿真实验，并设计了经典PD控制器，通过陀螺仪将独轮机器人的滚转角及角速度反馈给控制器，控制器输出控制电压驱动飞轮旋转，从而对机器人整体产生平衡力矩使得机器人从倾斜状态过渡到竖直的平衡状态。由于在实物物理实验中陀螺测得的角度偶尔有跳动，积分环节会对跳动误差进行累加而影响系统的控制效果，故仅采用了PD控制器进行控制。当比例系数KP为190、微分系数KD为2.5时(分别对应独轮机器人的侧偏角及角速度)，仿真结果如图3中虚线所示。仿真成功后在研制的物理样机上进行了多次实验，但遗憾的是前期一直没有取得成功，飞轮存在跑飞现象。在加入了飞轮角速度反馈后独轮机器人实现了侧向平衡控制，其中一次实验结果数据如图3中实线所示。(a)PD控制器机器人滚转角变化(rollanglebyPDcontroller)(b)PD控制器飞轮角速度变化(angularvelocityofflywheelbyPDcontroller)(c)PD控制器控制电压变化(controlvoltagebyPDcontroller)图3PD控制器仿真与实物实验结果图Fig.3TheresultsofsimulationandexperimentbyPDcontroller4.2LQR控制由于在后续的独轮机器人控制中，需要侧向平衡控制过程平稳，不可剧烈震荡。显然PD控制达不到本文的控制要求，而且调节参数很费时，