信息论与编码试卷及答案(DOC)

1一、（11’）填空题（1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是0。（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3。（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。（8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关三、（5）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则P(A)=0.25p(B)=0.5p(B|A)=0.75（2分）故p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375（2分）I(A|B)=-log0.375=1.42bit（1分）四、（5）证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：2YXHXHyxpyxpxpyxpxpyxpyxpYXIXXYjijiYijiXYijijilogloglog;（2分）同理XYHYHYXI;（1分）则YXIYHXYH;因为XYHXHXYH（1分）故YXIYHXHXYH;即XYHYHXHYXI;（1分）五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1）黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵XH；2）假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为，，，，求其熵XH。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解：1）信源模型为（1分）32）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。（2分）由（4分）得极限状态概率（2分）（3分）3）119.02log)(121XH（1分）447.02log)(122XH（1分）12。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、（18’）.信源空间为1234567()0.20.190.180.170.150.10.01XxxxxxxxPX，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。414.3)(71iiilapL831.014.361.2)(LXHR5七（6’）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1，并设41)(21)(41)(321xpxpxp，试分别按最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1）（3分）最小似然译码准则下，有，2）（3分）最大后验概率准则下，有，八（10）.二元对称信道如图。1）若430p，411p，求XH、YXH|和YXI;；2）求该信道的信道容量。解：1）共6分2），（3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）九、（18）设一线性分组码具有一致监督矩阵110101100110111000H1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？2）求此分组码的生成矩阵G。3）写出此分组码的所有码字。4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）符号/749.0|bitYXH62）设码字012345CCCCCCC由TTHC0得0000135034012CCCCCCCCCC（3分）令监督位为012CCC，则有340451352CCCCCCCCC（3分）生成矩阵为101100110010011001（2分）3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）4）由TTHRS得101S，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）一、填空题（本题10空,每空1分,共10分）1、必然事件的自信息量是____0____，不可能事件的自信息量是___无穷______。2、一信源有五种符号{a，b，c，d，e}，先验概率分别为Pa=0.5，Pb=0.25，Pc=0.125，Pd=Pe=0.0625。符号“a”的自信息量为___1_____bit，此信源的熵为__1.875______bit/符号。3、如某线性分组码的最小汉明距dmin=6，最多能纠正___2___个随机错。4、根据密码算法所使用的加密密钥和解密密钥是否相同，可将密码体制分成___对称（单密钥）_____和___非对称（双密钥）____。5、平均互信息量I(X;Y)与信源熵和条件熵之间的关系是__I(X:Y)=H(X)-H(X/Y)______。6、克劳夫特不等式是唯一可译码__存在_______的充要条件。{00，01，10，11}是否是唯一可译码？___是______。三、单项选择题(本题共10小题；每小题2分，共20分)1、对连续集的熵的描述不正确的是（A）A连续集的熵和离散集的熵形式一致，只是用概率密度代替概率，用积分代替求和B连续集的熵值无限大C连续集的熵由绝对熵和微分熵构成D连续集的熵可以是任意整数2、设信道输入为xm，输出为y，若译码准则是当P(y|xm’)≥P(y|xm)，对所有m≠m’时，将y7判为m’，则称该准则为（D）A最大后验概率译码准则B最小错误概率准则C最大相关译码准则D最大似然译码准则3、线性分组码不具有的性质是（C）A任意多个码字的线性组合仍是码字B最小汉明距离等于最小非0重量C最小汉明距离为3D任一码字和其校验矩阵的乘积cmHT=04、关于伴随式的描述正确的是（A）A伴随式s与传送中信道出现的错误图样e有关B通过伴随式s可以完全确定传送中信道出现的错误图样eC伴随式s与发送的具体码字有关D伴随式s与发送的具体码字有关，与传送中信道出现的错误图样e也有关5、率失真函数的下限为（B）AH(U)B0CI(U;V)D没有下限6、纠错编码中，下列哪种措施不能减小差错概率（D）A增大信道容量B增大码长C减小码率D减小带宽7、已知某无记忆三符号信源a,b,c等概分布，接收端为二符号集，其失真矩阵为,则信源的最大平均失真度Dmax为（D）A1/3B2/3C3/3D4/38、一珍珠养殖场收获240颗外观及重量完全相同的特大珍珠，但不幸被人用外观相同但重量仅有微小差异的假珠换掉1颗。一人随手取出3颗，经测量恰好找出了假珠，不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6次能找出，结果确是如此，这一事件给出的信息量（A）。A0bitBlog6bitC6bitDlog240bit9、已知随机噪声电压的概率密度函数p(x)=1/2，x的取值范围为－1V至+1V，若把噪声幅度从零开始向正负幅度两边按量化单位为0.1V做量化，并且每秒取10个记录，求该信源的时间熵（B）A21.61bit/sB43.22bit/sC86.44bit/sD以上都不对10、彩色电视显像管的屏幕上有5×105个像元，设每个像元有64种彩色度，每种彩度又有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。每秒传送25帧图像所需要的信道容量（C）A50.106B75.106C125.106D250.106第7章线性分组码1.已知一个(5,3)线性码C的生成矩阵为：811001G0110100111（1）求系统生成矩阵；（2）列出C的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；（4）求校验矩阵H；（5）列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。解：（1）线性码C的生成矩阵经如下行变换：23132110011001101101011010011100111100111001101101010100011100111将第、加到第行将第加到第行得到线性码C的系统生成矩阵为111000101011001SG（2）码字),,,(110ncccc的编码函数为111000101011001)(210mmmmfc生成了的8个码字如下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3)最小汉明距离d=2，所以可检1个错，但不能纠错。(4)由],[],,[)()(knTknkknkknIAHAIG，得校验矩阵91010101111H(5)消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs得码字序列c0=00000,c1=00111,c2=01010,c3=01101,c4=10011,c5=10100,c6=11001,c7=11110则译码表如下：0000000111010100110110011101001100111110100001011111010111010001100100010010111001000011110001000101110111110010001101100000100110010110110010010101011100011111当接收到r=(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c=01101。2．设（7,3）线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵；（3）求最小汉明距离；（4）列出伴随式表。解：（1）生成矩阵G经如下行变换1323010101010011010010111001011110011010101010100110110011010010111010101001010100010111交换第、行交换第、行得到系统生成矩阵：100110101010100010111SG（2）由],[],,[)()(knTknkknkknIAHAIG，得校验矩阵为101101000101010001100101010001H（3）由于校验矩阵H的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距离d=3。（4）（7,3）线性码的消息序列