复变函数总结完整版

第一章复数12i=-11i欧拉公式z=x+iy实部Rez虚部Imz2运算①2121ReRezzzz21ImImzz②2121212121ImImReReImRezzzzzzzzzz③1221212121122121221121yxyxiyyxxyyyixyixxxiyxiyxzz④222221212222212122222211222121yxyxxyiyxyyxxiyxiyxiyxiyxzzzzzz⑤iyxz共轭复数22yxiyxiyxzz共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示iyxzz与平面点yx,一一对应，与向量一一对应辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Argz=k20k=±1±2±3…把位于-π＜0≤π的0叫做Argz辐角主值记作0=0argz4如何寻找argz例：z=1-i4z=i2z=1+i4z=-1π5极坐标：cosrx，sinrysincosiriyxz利用欧拉公式sincosiei可得到irez21212121212121iiiiierreerrererzz6高次幂及n次方ninrerzzzzzninnnsincos凡是满足方程zn的ω值称为z的n次方根，记作nznkirez2即nrnr1nk2nk2第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一DZ都有W与其对应zf注：与实际情况相比，定义域，值域变化例zzf②zfzz0lim0zz称zf当0zz时以A为极限☆当0zf时，连续例1证明zzf在每一点都连续证：0000zzzzzfzf0zz所以zzf在每一点都连续3导数00000limzzzzzzdfzzzfzfzf例2Czf时有0'C证：对z有0limlim00zCCzzfzzfzz所以0'C例3证明zzf不可导解：令0zziyxiyxzzzzzzzzzzzfzf000000当0时，不存在，所以不可导。定理：yxivyxuzf,,在iyxz处可导u，v在yx,处可微，且满足C-R条件yvxuxvyu且xvixuzf例4证明zzf不可导解：iyxzzf其中xyxu,yyxv,u,v关于x,y可微11yvxu不满足C-R条件所以在每一点都不可导例5zzfRe解：xzzfRexyxu,0,yxv01yvxu不满足C-R条件所以在每一点都不可导例6：2zzf解：222yxzzf其中22,yxyxu0,yxv根据C-R条件可得02,02yx0,0yx所以该函数在0z处可导4解析若zf在0z的一个邻域内都可导，此时称zf在0z处解析。用C-R条件必须明确u,v四则运算gfgfzggfzgffkkf1nnnzzgfgfgf☆zzee2ggfgfgf例：证明zezfzzee解：yieyeezfxxzsincos则yeyxuxcos,yeyxvxsin,yeyvyexuxxcoscosyexvyeyuxxsinsin任一点iyxz处满足C-R条件所以ze处处解析zxxeyieyexvixuzfsincos练习：求下列函数的导数zzzf2解:32233223222yyxixyxiyxyyixxiyxyxzzzf23,xyxyxu32,yyxyxv所以223yxxu223yxyvxyyu2xyxv2根据C-R方程可得222233yxyvyxxuxyxvxyyu220,0yx所以当0z时zf存在导数且导数为0，其它点不存在导数。初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数yiyeexzsincos①定义域②2121zzzzeee③zzizeiee2sin2cos2④zzeeⅢ对数函数称满足ez的叫做z的对数函数，记作zln分类：类比nz的求法（经验）目标：寻找arg幅角主值可用：ezirezivu过程：iivuivuiereeeereziviueeer,kvru2,ln2,1,0k所以kzizrgzirkirivu2arglnln2ln2,1,0k例：求1LniLn1iLn的值1arg1221arg1ln1kikiLn2,1,0k41argikikiiiiLn242ln2121arg1ln12,1,0k2argikikiiiiLn2212argln2,1,0kⅣ幂函数对于任意复数，当0z时Lnzez例1：求ii1的值解：kikiiiiArgiiLniiiieeeeeii221221ln11ln112,1,0k例2：求kiiiiiieeeii242ln2131ln31ln331Ⅴ三角函数yiyeyiyeiyiysincossincosieeyeeyiyiyiyiy2sin2cos定义：对于任意复数iyxz，由关系式可得z的余弦函数和正弦函数2cosizizeezieeziziz2sin例：求i1sini5cos解：iiiieeii11211siniiiieei55215cos第三章复变函数的积分1复积分定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线yxivyxuzf,,在C上连续，则yxivyxuzf,,在C上可积，且有CCCdxyxvdyyxuidyyxvdxyxudzzf,,,,注：①C是线②方式跟一元一样方法一：思路：复数→实化把函数ivuzf与微分idydxdz相乘，可得CCCdxyxvdyyxuidyyxvdxyxudzzf,,,,方法二：参数方程法☆核心：把C参数C：tztCdttztzdzzf例：求Cdzz①C：0→i1的直线段②101C；iC112解：①C：itttz10t1010111dtiitdtittittdzzC②ttzC:110tittzC1:210t101012121121iidtittdtdzzdzzdzzCCC★结果不一样2柯西积分定理例：Cnidzaz02111nnC：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针解：C：ieaziyxz2011011121120120112020nnindeinideidieedzedzazininnCininin☆积分与路径无关：①单联通②处处解析例：求Cdzzz1822，其中C是连接O到点a2,0的摆线：cos1sinayax解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因1822zzzf在全平面上解析，则LCdzzz01822即CLdzzzdzzz18218222把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于Laaaadxxxdzzz20222218382182182故Caaadzzz18382182222★关键：①恰当参数②合适准确带入z3不定积分定义3.2设函数zf在区域D内连续，若D内的一个函数z满足条件zfzDz定理3.7若可用上式，则zzzzdzzf00Dzz0,例：计算dzeiz0解：100iizizeedze练习：计算dzzeiz22132解：21413612122213222132213222izdezdedzzeiziziz4柯西积分公式定理处处解析zf在简单闭曲线C所围成的区域内则Cdzazzfiaf21例1：11zzdzze解：01011011zzzzzzedzzedzze例2：221sinzdzzz解：1sin21sin211sin211sin2222idzzzdzzzdzzzzzz例3：2279zdzzzz解：22222592979zizzzzidzizzzdzzzzCdzfizf21Dz注：①C：Dz②z1一次分式③找到zfzf在D内处处解析例4：212sinzdzzzzz解：2201211sin2sin2sin202sin12sin12sinzzzzzizzzzidzzzzdzzzzdzzzzz5解析函数的高阶导数公式：Cnndzfinzf12!Dzn=1，2……应用要点：①Dz②11nzn③精准分离1nzf例：02sin!2202sin2sin011213zzZzidzzzdzzz6调和函数若yxg,满足02222ygxgg则称yxg,叫做D内的调和函数若yxivyxuzf,,在D内解析所以0222222yxvyxvyuxu把vu,称为共轭调和函数第四章级数理论1复数到1nnz距离zzd,谈极限对nz若有Dz0使得0,00zzzzdnnn此时0z为nz的极限点记作nnzzlim0或0zznn推广：对一个度量空间dx,都可谈极限2极限的性质00nnzzn000000zzzzzznnnnnnn0n3niyxziyxznnn000