第一章常用逻辑用语复习课

常用逻辑用语知识是进行数学推理和思维必不可少的基本知识.通过本章的学习,使我们体会到逻辑用语的严谨性、准确性及其中蕴含的一些思维规律,甚至有些同学会认为我们好像是在“咬文嚼字”，而且有些思维是形式化的在进行，其实这种训练可以有助于我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.常用逻辑用语复习小结常用逻辑用语知识的学习，我们要充分品味逻辑用语的严谨性、准确性和其中蕴含的思维规律，但又不要刻意追求那些形式化又无实际意义的东西的推敲，贵在思维的熏陶。知识网络常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词全称量词与存在量词四种命题充分条件与必要条件量词全称量词存在量词含有一个量词的否定或且非一、命题的概念我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．判断为假的语句称为假命题．其中判断为真的语句称为真命题，二、“若p，则q”形式的命题也可写成“如果P,那么q”的形式也可写成“只要P,就有q”的形式若p则q。逆否命题：原命题：逆命题：否命题：若q则p。若p则q。若q则p。思考：要写出一个命题的另外三个命题关键是什么？分清命题的题设和结论，即把原命题写成“若p则q”的形式。1、四种命题的形式：2、命题的否定：如果原命题为:“若p，则q”那么原命题的否定为：“若p，则﹁q”注意：（1）“或”的否定为且（2）“且”的否定为或（3）“都”的否定为不都3、四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆4、四种命题的真假公理：四种命题的真假性之间的关系（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:原命题逆命题否命题逆否命题真假真真真真真真真假假假假假假假在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬结论反证法1.2.1充分条件与必要条件3、一般地，如果“若p，则q”为真命题，即，那么我们就说，qpp是q的充分条件，q是p的必要条件。1、一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们说：qp2、一般地，“若p，则q”为假命题，是指由p通过推理不能得出q.这时，我们说：qp一.充分条件与必要条件1.充分而不必要条件则称p是q的充分而不必要条件二、p，q之间的逻辑关系,pqqp且若2.必要而不充分条件,pqqp且若则称p是q的必要而不充分条件3.充分必要条件则称p是q的充分必要条件,,,qppqqp即且若简称充要条件4.既不充分也不必要条件则称p是q的既不充分也不必要条件,,pqqp且若设集合A是使命题p为真命题的元素所组成的集合，三、用集合法判断p与q的逻辑关系集合B是使命题q为真命题的元素所组成的集合，记法关系图示结论)(|,)(|xqxBxpxAABABBAABBA且ABAB)(BABAp是q的充分而不必要条件p是q的必要而不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件1：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”。1）sinAsinB是AB的___________条件。2）在ΔABC中，sinAsinB是AB的________条件。既不充分又不必要充要条件注、定义法（图形分析）【2】()B.0:xq做一做信心倍增【3】已知p:|2x-3|≥1;q:,则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A2106xx:21pxx或≥≤:23qxx或4.设p：实数x满足x2-4ax+3a20，其中a0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-80，且¬P是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．也就是pq且qp．化简条件p得，A={x|3axa,a0}化简条件q得，B={x|x-4或x≥-2}分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化．解：由¬P是¬q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件，练习、1、设集合M={x|x2},N={x|x3},那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的A.充要条件B必要不充分条件C充分不必要D不充分不必要B注、集合法2、a∈R,|a|3成立的一个必要不充分条件是A.a3B.|a|2C.a29D.0a2A3.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的_______________.练习、充分不必要条件注、等价法（转化为逆否命题）4：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的（）条件A.充要B必要不充分C充分不必要D不充分不必要Ａ1.3简单的逻辑联结词不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题1、简单命题2、复合命题一、由“且”构成的复合命题一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”一般地，我们规定:当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题。二、由“或”构成的复合命题一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”一般地，我们规定:当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题。当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。三、由“非”构成的复合命题一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”。一般地，我们规定:若p是真命题，则¬p必是假命题，若p是假命题，则¬p必是真命题。四、复合命题的真假可用如下真值表来表示：真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真¬pp∨qp∧qqp特别注意对一些词语的否定词语否定词语否定等于不等于任意的某个大于不大于所有的某些小于不小于且或是不是都是不都是至多有一个至少有两个至多有n个至少有(n+1)个至少有一个一个都没有至少有n个至多有(n-1)个“非p”─p的全盘否定.特别注意!练习一:1.有下列四个命题:①“||3x若，则33xx或”的逆命题;②命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数”;③若有命题p：7≥7，q:ln2＞0,则p且q是真命题;④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真.其中真命题为()(A)①④(B)②③(C)②④(D)③④2.命题：“若220xx,则x≠–1且x≠2”的否命题是_______.3.已知Ryx,,且2yx,求证:yx,中至少有一个大于1.D若220xx,则1x或2x.4.已知命题,由它们构成的”p∨q”、“p∧q”和“p”形式的复合命题中，真命题有（）A、0个B、1个C、2个D、3个}2,1{}1{:},0{:qpB5．指出下列各组命题中p是q的什么条件（A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，C.充要条件，D.既不充分也不必要条件）：（１）p：a2b2q：ab则p是q的（）（２）p：{x|0x3}q：{x|x2x60}则p是q的（）（３）p：a,b,c为等差数列q：则p是q的（）（４）p：0m１/３q：方程mx22x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则p是q的（）2bcbaDABC【例题】【例题】短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“”表示。含有全称量词的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.一、全称量词叫做全称命题。1.4全称量词与存在量词二、全称命题的符号表示全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为)(,xpMx要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；思考：如何判定一个全称命题的真假？但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为假。短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“”表示。含有存在量词的命题，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.三、存在量词叫做特称命题。四、特称命题的符号表示特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为)(,00xpMx要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。思考：如何判定一个特称命题的真假？一、全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有如下结论：)(,xpMx全称命题p:它的否定﹁p:)(,00xpMx全称命题的否定是特称命题1.4.3含有一个量词的命题的否定2)每一个素数都是奇数；1)写出下列命题的否定所有的矩形都是平行四边形；23),210xRxx二、特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有如下结论：)(,xpMx特称命题p:它的否定﹁p:)(,00xpMx特称命题的否定是全称命题思考2：01,)3200xRx1)写出下列命题的否定有些实数的绝对值是正数；2)某些平行四边形是菱形；练习三:1.已知命题p:方程2320xx的根是x=2;命题q:方程2320xx的根是x=1,则命题pq或为____________.2.写出命题“a、b、cR，若122bax，122cby，122acz，则x、y、z中至少有一个不小于0”的否定为____________________.3.设命题p：函数)161lg()(2axaxxf的定义域为R；命题q：不等式axx112对一切正实数均成立.如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.方程2320xx的根一定是x=2或一定是x=1a、b、cR，若221xab，221ybc，221zca，则x、y、z三个都小于0”3.解：命题p为真命题21()lg()16fxaxxaR函数的定义域为22010116104aaxxaxa对任意实数均成立2.a2.pa命题为真命题211qxax又命题为真命题对一切正实数均成立21122(211)211xxaxxxxx对一切正实数均成立20,211,2112,1.(8211xxxx由于分)1.(10qa命题的真命题≥分)∵根据题意知，命题p与q为有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在；当命题p为假命题且命题q为真命题时a的取值范围是[1，2].综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时实数a的取值范围是[1，2](12分)π2sin()2,4x≥2.m例1.已知两个命题r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.解:∵sinx+cosx=∴当r(x)是真命题时，又∵对x∈R,s(x)为真命题，即x2+mx+10恒成立,有Δ=m2-40,∴-2m2.当r(x)为假，s(x)为真时，222mm≥当r(x)为真，s(x)为假时，222mmm，或，≤≥即m≤-2.22m即.≤综上,m的取值范围是m≤-2,或22m.≤与全(特)称命题有关的参数问题例2．已知命题p:对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立;命题q:不等式x2+ax+20有解.若p是真命题，q是假命题,求a的取值范围.