工程数学概率 第二章(二)

第二章随机变量及其分布（二）一、二维随机变量二、边缘分布三、相互独立的随机变量四、两个随机变量的函数的分布定义1设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。定义2设(,)XY是二维随机变量，对于任意实数,x,y二元函数{,}PXxYy称为二维随机变量(,)XY的分布函数，或联合分布函数。第一讲二维随机变量二维分布函数的几何意义处的函数值:在随机点落在以为顶点的左下方矩形开域上的概率。),(yxxy021(,)xy22(,)xy12(,)xy11(,)xyy2x1x1y2y0x所以22122111(,)(,)(,)(,)FxyFxyFxyFxy机动目录上页下页返回结束联合分布函数的性质：①是变量和的不减函数，即对任意固定的，当时，对任意固定的，当时，②③关于右连续，即(,)1,F(,)0,F0),(F),(YX)4arctan)(3arctan(),(yCxBAyxF{3,4}.PXY例1.设的分布函数为求常数,,ABC的值及概率解由分布函数的性质得1)2)(2(CBA0)2)(2(CBA0)2)(2(CBA21A2B2C)4,3(F169机动目录上页下页返回结束定义：若二维随机变量),(YX的所有可能取值(,),ijxy,1,2,ij是有限对或可列无限多对时，则称),(YX为离散型随机变量。一、二维离散型随机变量),2,1,(jijijipyYxXP},{的分布律。),(YX称为二维随机变量0)1jip1)211ijjip性质：例1、将骰子抛两次，X—第一次出现的点数，Y—第二次出现的点数，求（X,Y）的分布律。解：XY123456123456机动目录上页下页返回结束例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以,XY分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求),(YX的分布律。解可能取值均为1,2,3.,XY11{1,1}pPXY12{1,2}pPXY1{1}{1|1}004PXPYX121{1}{2|1}436PXPYX机动目录上页下页返回结束131/41/31/12,p212/41/31/6p222/41/31/6,p232/41/31/6p同理可得311/41/31/12,p321/42/31/6p331/400.p所以),(YX的分布律为01/61/121/61/61/61/121/60123123XY定义：设二维随机变量),(YX的分布函数为(,),Fxy若存在(,)0,fxy使得对任意实数,,xy总有(,)(,)yxFxyfuvdudv则称),(YX为二维连续型随机变量,(,)fxy称为),(YX的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度。二、二维连续型随机变量①(,)0fxy②(,)1fxydxdyf(x,y)的性质:③若(,)fxy在点(,)xy连续，则有2(,)(,)Fxyfxyxy④{(,)(,)}0PXYxy,即连续型随机变量在某点的概率为0。{(,)}(,),GPXYGfxydxdyG表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面(,)zfxy为顶的曲顶柱体体积。注：机动目录上页下页返回结束例3设二维随机变量),(YX的概率密度2,0,0,(,)0,.xykexyfxy其它试求：⑴常数k的值；⑵分布函数(,);Fxy⑶概率{};PYX⑷概率{1};PXY解⑴由概率密度的性质2001(,)2xykfxydxdykedxdy得2k从而得22,0,0,(,)0,.xyexyfxy其它⑵由分布函数的性质(,)(,)xyFxyfuvdvdu2002,0,0,0,.xyuvedvduxyothers2(1)(1),0,0,0,.xyeexyothers(,)xyxy0:{}{(,)}(,)GyxPYXPXYGfxydxdy2021/3xyydyedx⑷1121200212yxydyedxeexy0111xyxy0'Gyx⑶将),(YX看作平面上随机点的坐标，有机动目录上页下页返回结束例4设二维随机变量),(YX的概率密度为21,0102,(,)30,.xxyxyfxyothers，试求概率．1YXP解积分区域如右图所示1(,)xyfxydxdy1PXY12201()3xxydxxdy6572xy0111xy2机动目录上页下页返回结束)16)(9(12),(),(2222yxyxyxFyxf{03}PX的分布函数为),(YX)4arctan2)(3arctan2(1),(2yxyxF(,);fxy例5已知试求：⑴),(YX的概率密度⑵{03}.PX解⑴由概率密度的性质知⑵{03}PXY，机动目录上页下页返回结束3222012.(9)(16)4dydxxy30),(dydxyxf的概率密度为),(YX例6已知2,01,(,)0,.Axyyxfxyothers⑴求常数A的值；⑵求),(YX的分布函数(,).Fxy解⑴由性质(,)1fxydxdy可得1200115xAdxxydyAxy0Gyx1机动目录上页下页返回结束所以215,01,(,)0,.xyyxfxyothers⑵由于(,)(,)xyFxyfxydxdy①当0x0yxyx,10xyx0,10或时，(,)0;Fxy②当时，（如下图3-5(1)）232201(,)15(53);2yxyFxydyxydxyxy③当时，（如下图3-5(2)）2500(,)15;xxFxydxxydyx机动目录上页下页返回结束10,1yx④当时，（如下图3-5(3)）123201(,)15(53);2yyFxydyxydxyy1,1xy⑤当时，（如下图3-5(4)）1200(,)151.xFxydxxydx3225320,00,1(53),01,0,2(,),01,,1(53),1,01,21,1,1.xoryyxyxyxFxyxxyxyyxyxy故机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束边缘分布第二章二、边缘分布律一、边缘分布函数三、边缘概率密度第二讲一、边缘分布函数的分布函数为(,){,},FxyPXxYy()XFx分别的分布函数为设),(YX记()YFy和的边缘分布函数。XY，称为关于和{}{}{}{,}XxXxYXxY则XY和)(xFX}{xXP},{YxXP),(xF同理可得)(yFY),(yF研究问题：已知联合分布，怎样求X,Y的边缘分布。解:的边缘分布函数为X),(YX关于例1:已知),(YX的分布函数为23(1)(1),0,0,(,)0,.xyeexyFxy其它()XFx的边缘分布函数()YFy，和求),(YX关于XY和问各服从什么分布？XY和同理，23二、离散型随机变量的边缘分布律),(YX{,}(,1,2,)ijijPXxYypij),(YXX设的分布律为则关于的边缘分布律为}{ixXP},{1jjiyYxXP1jjip},{ixXP)(1jjyYip记做,2,1,i1}{ijijpyYPjp记做同理,2,1,j通常用以下表格表示),(YX的分布律和边缘分布律YX1y2yjy...1x...2x...ix.............................................11p12p1jp21p22p2jp1ip2ipijp..................1ip1p2pipjp1p2pjp三、连续型随机变量的边缘概率密度,),(yxf),()(xFxFXdux),(YX若是二维连续型随机变量,其概率密度为则:)(xfXdx)y,x(f)y(fY同理dvvuf),(dyyxf),(关于X和Y的边缘概率密度。),(YX分别是解:,0,10|),(xyxyxG设GYX在),(的边缘概率和关于求YXYX),(),(YX其它,0),(,2),(Gyxyxf例2.上服从均匀分布,)(xfX)(yfY密度和的概率密度为)(xfXdyyxf),(其它,010,20xdyx其它,010,2xxxy01y=x)(yfY其它,010),1(2yydxyxf),(其它,010,21ydxy其它,0),(,2),(Gyxyxfxy01y=x解:,0,10|),(xyxyxG设GYX在),(的边缘概率和关于求YXYX),(),(YX例2.上服从均匀分布,)(xfX)(yfY密度和的概率密度为yox2yxyx11例3已知26,,(,)~(,)0,xyxXYfxy其它.(),()XYfxfy求。解()(,)Xfxfxydy2266(),01,0,.xxdyxxx其它66(),01,()(,)0,.yyYdxyyyfyfxydx其它机动目录上页下页返回结束例4已知221,1,(,)~(,)0,xyXYfxy其它.(),()XYfxfy求。1111yx解()(,)Xfxfxydy22211121,11,0,.xxxdyx其它机动目录上页下页返回结束221,11,()0,.Yyyfy其它由对称性得注：联合分布边缘分布书76页：例5机动目录上页下页返回结束相互独立的随机变量第二章二、n个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性第四讲均有),(YXyx,{,}{}{}⑴PXxYyPXxPYyXY与一、两个随机变量的独立性定义1若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量是相互独立的。)()(),(yFxFyxFYX即1)对于离散型的随机变量},{jiyYxXPji,}{}{jiyYPxXP2)对于连续型的随机变量)()(),(yfxfyxfYX几乎处处成立。例1设随机变量XY与相互独立，试确定a,b,c的值？YXa1/3b1/91/91x2x3xc2y1y1/91/3b1/9acjp1/9a1/9b1/3cip2222ppp1112()()9939bbbb1212ppp解：XY与因为相互独立18191)3191)(91(aba611)3191()91(cbca其它．,0,10,10,4),(yxyxyxf),(YX例2设随机变量的概率密度为试问X与Y是否相互独立?),(YXdyyxfxfX),()(X其它．,0,10,2410xxxydy解因为关于的边缘概率密度其它．,0,10,2)(yyyfY)()(),(yfxfyxfYX