2012年各地中考数学压轴题精选精析

1/1632012年各地中考数学压轴题精选精析(1.2012黄石)25.（本小题满分10分）已知抛物线1C的函数解析式为23(0)yaxbxab，若抛物线1C经过点(0,3)，方程230axbxa的两根为1x，2x，且124xx。（1）求抛物线1C的顶点坐标.（2）已知实数0x，请证明：1xx≥2,并说明x为何值时才会有12xx.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C，设1(,)Amy，2(,)Bny是2C上的两个不同点，且满足：090AOB，0m，0n.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)Pxy，22(,)Qxy，则P，Q两点间的距离为222121()()xxyy）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；配方法．【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．（2）11xx，因此将1xx配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式．2/163【解答】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３∴a＝１……………………………………１分∴ｙ＝x2＋bx－３∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且21x-x＝４∴21221214)(xxxxxx＝４且b＜０∴b＝－２……………………１分∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）………………………１分（2）∵x＞０，∴0)1(21xxxx∴,21xx显然当x＝１时，才有,21xx………………………２分（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2………………………１分∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）∵ΔAOB为RtΔ∴OA２+OB２=AB２∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２化简得：mn＝－１……………………１分∵ＳΔAOB=OBOA21=424221nnmm∵mn＝－１∴ＳΔAOB＝22221221221mmnm3/163＝1221121)1(212mmmm∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)……………………２分∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x……………………１分方法二：由题意可求抛物线2C的解析式为：2yx··················（1分）∴2(,)Amm，2(,)Bnn过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则AOCBODACDBSSSS梯形2222111()()222mnmnmmnn1()2mnmn由BOD△∽OAC△得BDODOCAC即22nnmm∴1mn······························································（1分）∴1nm∴1()2Smnmn11()2mm由（2）知：12mm∴111()2122Smm当且仅当1m，S取得最小值1此时A的坐标为（１，１）·······································（2分）∴一次函数OA的解析式为yx·································（1分）【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．B(n，n2)A(m，m2)OCDyx4/163（2.2012滨州）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．考点：二次函数综合题。解答：解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为．5/163（3.2012滨州）25．如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．考点：全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。解答：证明：（1）在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°6/163∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1×1=5；（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．(4.2012云南)22．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，根据OB=OD和AD∥BC推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣16x+64+16，求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∵MN是BD的中垂线，7/163∴OB=OD，BD⊥MN，=，∴BM=DM，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，答：MD长为5．点评：本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(5.2012云南)23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8/163考点：二次函数综合题。分析：（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏．求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系．解答：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．9/163∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，∴OC=，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，∴B（，）．如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（，0）；②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，10/163∴，即，化简得：m2﹣m+=0，解得：x1=，x2=，∴此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．此时M点坐标为（0，）；④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（0，）．综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．11/163点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点．难点在于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论，不要遗漏．(6.2012岳阳)25．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：12/163Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD；（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△AC